गणित प्रकाश अध्याय 9 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
क्या उपरोक्त पवन-चक्की ठीक पहले जैसी ही दिखाई देगी, जब उसे 90° से छोटे किसी कोण पर घुमाया जाता है?
उत्तर

नहीं। कागज की पवन-चक्की में चार एक जैसी पंखुड़ियाँ केंद्र के चारों ओर बराबर दूरी पर लगी हैं।

दो पड़ोसी पंखुड़ियों के बीच का कोण = 360° ÷ 4 = 90°

यदि आप उसे 90° से कम — जैसे 30°, 45° या 80° — घुमाएँ, तो हर पंखुड़ी दो पुरानी स्थितियों के बीच रुक जाती है, इसलिए चित्र टेढ़ा दिखता है और मूल स्थिति से मेल नहीं खाता।

केवल 90° पर ही हर पंखुड़ी ठीक अगली पंखुड़ी के स्थान पर पहुँचती है और पवन-चक्की पहले जैसी दिखने लगती है।

90° से कम क्यों नहीं: आकृति के वैसा ही दिखने के लिए एक पंखुड़ी को दूसरी पंखुड़ी पर आना ही पड़ेगा। यह सबसे पहले तभी होता है जब पूरा एक “अंतराल” घूम जाए, और वह अंतराल 90° का है। इसीलिए 90° को पवन-चक्की का न्यूनतम सममिति कोण कहते हैं।
प्र2.
इस प्रकार, हम देखते हैं कि पवन-चक्की के सममिति के 4 कोण हैं। क्या आप किसी एक अन्य आकृति के विषय में जानते हैं, जिसके सममिति के ठीक 4 कोण होते हैं?
उत्तर

हाँ, अनेक। जो भी आकृति एक ही टुकड़े को केंद्र के चारों ओर चार बार दोहराकर बनी हो, उसके ठीक 4 सममिति कोण होते हैं — 90°, 180°, 270°, 360°

  • वर्ग (और शतरंज की बिसात का वर्गाकार खाना)।
  • चार बराबर भुजाओं वाला जोड़ का चिह्न “+”, जैसा पृष्ठ 232 की आकृति में है।
  • चार पंखुड़ियों वाला फूल तथा पृष्ठ 227 का चार नोकों वाला तारा।
  • 4 पंखों वाला टेबल फैन या छत का पंखा, तथा चार बराबर तीलियों वाला स्टीयरिंग व्हील।
  • अनेक रंगोली डिज़ाइन।
सावधान: वर्ग में 4 सममिति कोण तथा 4 सममिति रेखाएँ हैं, परंतु पवन-चक्की में 4 सममिति कोण हैं और कोई सममिति रेखा नहीं। कोण और रेखाएँ अलग-अलग गिनी जाती हैं।
प्र3.
एक वर्ग के कितने सममिति कोण हैं? प्रारंभिक वर्ग प्राप्त करने के लिए, उसे कितने घूर्णन की आवश्यकता है? क्या आप जानते हैं कि घूर्णन के केंद्र को कहाँ चिह्नित करना है? इसकी सममिति के अन्य कोण क्या हैं?
उत्तर

वर्ग के 4 सममिति कोण होते हैं।

A B C D 90° D A B C
लाल केंद्र के परित 90° (चौथाई चक्कर) घुमाने पर A, B के स्थान पर; B, C के; C, D के तथा D, A के स्थान पर आ जाता है।
  • कितना घूर्णन चाहिए? 90° का घूर्णन ही पर्याप्त है — वर्ग स्वयं पर आ जाता है। हर कोना अगले कोने के स्थान पर चला जाता है: A → B, B → C, C → D, D → A।
  • घूर्णन का केंद्र कहाँ? वर्ग के केंद्र पर — वहीं जहाँ उसके दोनों विकर्ण काटते हैं। केवल यही बिंदु स्थिर रहता है।
  • सममिति के अन्य कोण:
    90° (चौथाई चक्कर),   180° (आधा चक्कर),   270° (तीन-चौथाई चक्कर),   360° (पूरा चक्कर)
ठीक यही चार क्यों: 180° के बाद कोने C, D, A, B पढ़े जाते हैं; 270° के बाद D, A, B, C; और 360° पर सब कुछ अपनी जगह लौट आता है। किसी अन्य कोण पर कोने दो स्थितियों के बीच रह जाएँगे और वर्ग टेढ़ा दिखेगा।
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