गणित प्रकाश अध्याय 9 टाइल्स के साथ खेलिए

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
पुस्तक के अंत में दी गई रंगीन टाइल्स का उपयोग करके इस आकृति को पूरा कीजिए जिससे इसकी केवल दो सममिति की रेखाएँ हों।
उत्तर

हर टाइल एक छोटा वर्ग है जो विकर्ण के अनुदिश कटा है — आधा पीला, आधा नीला। पुस्तक की आकृति में 8 × 8 का ग्रिड है जिसका केवल ऊपरी-बाएँ 4 × 4 भाग भरा हुआ है, और बीच में खिंची दो लाल रेखाएँ बताती हैं कि सममिति की रेखाएँ कहाँ होनी चाहिए।

पूरा कैसे कीजिए:

  1. दिए हुए 4 × 4 भाग को ऊर्ध्वाधर लाल रेखा में परावर्तित कीजिए। ऊपरी-दाएँ भाग में टाइलें इस प्रकार रखिए कि हर टाइल अपने सामने वाली टाइल का दर्पण-प्रतिबिंब हो — पीला और नीला त्रिभुज आपस में पक्ष बदल देंगे।
  2. अब पूरे ऊपरी आधे भाग को क्षैतिज लाल रेखा में परावर्तित कीजिए और उसी तरह नीचे का आधा भाग भर दीजिए।

तब पूरे 8 × 8 डिज़ाइन में ठीक 2 सममिति की रेखाएँ होंगी — ऊर्ध्वाधर लाल रेखा और क्षैतिज लाल रेखा।

टाइलों में सावधानी: दर्पण टाइल को केवल खिसकाता नहीं, पलट देता है। यदि किसी टाइल की रंग-सीमा नीचे-बाएँ कोने से ऊपर-दाएँ कोने तक जाती है, तो ऊर्ध्वाधर रेखा में उसका प्रतिबिंब नीचे-दाएँ से ऊपर-बाएँ जाएगा।
प्र2.
16 ऐसी ही टाइल्स का प्रयोग करके ऐसी आकृति बनाइए जिसमें ठीक 1. एक सममिति की रेखा हो। 2. दो सममिति की रेखाएँ हों।
उत्तर

सोलह टाइलें 4 × 4 के वर्ग में ठीक बैठ जाती हैं। इस प्रकार कीजिए:

ठीक 1 सममिति की रेखा

  1. एक रेखा तय कीजिए — मान लीजिए 4 × 4 वर्ग के बीच की ऊर्ध्वाधर रेखा।
  2. बाएँ आधे भाग की 8 टाइलें अपनी इच्छानुसार किसी भी पैटर्न में रखिए।
  3. दाएँ आधे भाग को उन्हीं टाइलों के दर्पण-प्रतिबिंबों से भरिए।
  4. ध्यान रखिए कि पैटर्न ऊपर-नीचे से सममित हो — जैसे ऊपर नीला रंग अधिक और नीचे कम रखिए। तब केवल ऊर्ध्वाधर रेखा ही सममिति की रेखा रहेगी।

ठीक 2 सममिति की रेखाएँ

  1. केवल ऊपरी-बाएँ चौथाई भाग की 4 टाइलें जमाइए।
  2. उस चौथाई को बीच की ऊर्ध्वाधर रेखा में परावर्तित कीजिए, फिर पूरे ऊपरी आधे भाग को बीच की क्षैतिज रेखा में परावर्तित कीजिए।
  3. वह चौथाई भाग स्वयं अपने विकर्ण के परित सममित हो, वरना 2 के स्थान पर 4 सममिति रेखाएँ बन जाएँगी।
स्वयं जाँचिए: जिस रेखा का दावा कर रहे हैं, उस पर छोटा दर्पण सीधा रखिए और देखिए कि आधा भाग तथा उसका प्रतिबिंब मिलकर आपका डिज़ाइन ठीक-ठीक बनाते हैं या नहीं। फिर शेष तीनों संभावित रेखाओं पर भी जाँचिए — वे असफल होनी चाहिए।
प्र3.
इन टाइल्स का प्रयोग करके रचनात्मक सममित डिजाइन बनाइए।
उत्तर

यह एक क्रियाकलाप है — दो रंगों वाली टाइलों से ये डिज़ाइन बनाकर देखिए:

  • वर्गाकार रंगोली: एक चौथाई भाग डिज़ाइन कीजिए और उसे केंद्र के चारों ओर दोहराइए। 90° घुमाने पर बनने वाले इस डिज़ाइन में 4 सममिति रेखाएँ और क्रम 4 होगा।
  • फिरकी: चार एक जैसे चौथाई भाग रखिए, पर हर एक को 90° घुमाकर (दर्पण से नहीं)। इसमें क्रम 4 की घूर्णन सममिति होगी पर कोई सममिति रेखा नहीं — ठीक पृष्ठ 230 की पवन-चक्की की तरह।
  • किनारी की पट्टी (चार्ट या ग्रीटिंग कार्ड के लिए): एक छोटी आकृति को एक रेखा में बार-बार दोहराइए, हर जोड़ पर दर्पण लगाते हुए।
  • शतरंज जैसी बिसात: टाइलों को इस प्रकार बदलिए कि नीले त्रिभुज मिलकर बड़े हीरे बना दें।
इन सबके पीछे एक ही नियम: पहले तय कीजिए कि डिज़ाइन कैसे दोहराया जाएगा — मोड़कर (दर्पण) या घुमाकर (घूर्णन) — फिर केवल एक टुकड़ा ध्यान से बनाइए और उसी तरीके से उसकी प्रतिलिपियाँ बनाइए।
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