गणित प्रकाश अध्याय 1 दहाइयों की भूमि

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

हँसमुख हजार के पास +1000 का एक बटन है। निम्नलिखित को दिखाने के लिए इसे कितनी बार दबाना चाहिए — (a) तीन हजार? 3 बार (b) 10,000? (c) तिरेपन हजार? (d) 90,000? (e) एक लाख? (f) ______ 153 बार? (g) 1 लाख बनाने के लिए कितने हजार चाहिए?

उत्तर

प्रत्येक बार दबाने पर 1000 जुड़ता है, अत: बटन दबाने की संख्या = संख्या ÷ 1000।

वांछित संख्या	हल	कितनी बार
(a) तीन हजार	3000 ÷ 1000	3 बार
(b) 10,000	10000 ÷ 1000	10 बार
(c) तिरेपन हजार	53000 ÷ 1000	53 बार
(d) 90,000	90000 ÷ 1000	90 बार
(e) एक लाख	1,00,000 ÷ 1000	100 बार
(f) 1,53,000	153 × 1000	153 बार

(g) एक लाख बनाने के लिए 100 हजार चाहिए।

1 लाख = 1,00,000
1,00,000 ÷ 1,000 = 100
अत: 100 × 1000 = 1,00,000 ✓

ऐसा क्यों होता है: हँसमुख हजार केवल 1000 के गुणजों तक ही पहुँच सकता है। इसीलिए ऊपर के सभी उत्तर पूर्ण संख्याएँ हैं — और इसीलिए यह गणक 3,700 या 97,600 जैसी संख्या कभी नहीं दिखा सकता।

प्र2.

दबंग दहाई के पास +10 का मात्र एक बटन है। निम्नलिखित को दिखाने के लिए इसे कितनी बार दबाना चाहिए — (a) पाँच सौ? (b) 780? (c) 1000? (d) 3700? (e) 10,000? (f) एक लाख? (g) ______ 435 बार?

उत्तर

प्रत्येक संख्या को 10 से भाग दीजिए।

वांछित संख्या	हल	कितनी बार
(a) पाँच सौ	500 ÷ 10	50 बार
(b) 780	780 ÷ 10	78 बार
(c) 1000	1000 ÷ 10	100 बार
(d) 3700	3700 ÷ 10	370 बार
(e) 10,000	10000 ÷ 10	1000 बार
(f) एक लाख	1,00,000 ÷ 10	10,000 बार
(g) 4,350	435 × 10	435 बार

ऐसा क्यों होता है: 10 से भाग देने पर अंत का एक शून्य हट जाता है। इसीलिए बटन दबाने की संख्या मूल संख्या जैसी ही दिखती है, बस एक शून्य कम — 3700 से 370 और 1,00,000 से 10,000।

संकेत: दबंग दहाई वास्तव में थकाऊ है — एक लाख तक पहुँचने के लिए दस हजार बार बटन दबाना पड़ेगा। एक सेकंड में एक बार दबाएँ तो लगभग 3 घंटे लगेंगे!

प्र3.

समझदार सैकड़े के पास +100 का मात्र एक बटन है। निम्नलिखित को दिखाने के लिए इसे कितनी बार दबाना चाहिए — (a) चार सौ? (b) 3,700? (c) 10,000? (d) तिरेपन हजार? (e) 90,000? (f) 97,600? (g) 1,00,000? (h) ______ 582 बार? (i) दस हजार बनाने के लिए कितने सैकड़ों की आवश्यकता होती है? (j) एक लाख बनाने के लिए कितने सैकड़ों की आवश्यकता होती है? (k) समझदार सैकड़ा कहता है, “यहाँ कुछ संख्याएँ हैं जो दबंग दहाई और हँसमुख हजार नहीं दिखा सकता है, परंतु मैं दिखा सकता हूँ।” क्या यह कथन सत्य है? सोचिए और खोजिए।

उत्तर

प्रत्येक संख्या को 100 से भाग दीजिए।

वांछित संख्या	हल	कितनी बार
(a) चार सौ	400 ÷ 100	4 बार
(b) 3,700	3700 ÷ 100	37 बार
(c) 10,000	10000 ÷ 100	100 बार
(d) तिरेपन हजार	53000 ÷ 100	530 बार
(e) 90,000	90000 ÷ 100	900 बार
(f) 97,600	97600 ÷ 100	976 बार
(g) 1,00,000	100000 ÷ 100	1000 बार
(h) 58,200	582 × 100	582 बार

(i) 10,000 ÷ 100 = 100 सैकड़े दस हजार बनाते हैं।
(j) 1,00,000 ÷ 100 = 1000 सैकड़े एक लाख बनाते हैं।

(k) नहीं, यह कथन सत्य नहीं है।

समझदार सैकड़ा केवल 100 के गुणज दिखा सकता है।
100 का प्रत्येक गुणज 10 का भी गुणज होता है।
जैसे 3,700 = 37 × 100 = 370 × 10
अत: जो भी संख्या समझदार सैकड़ा दिखा सकता है, दबंग दहाई भी दिखा सकता है।

ऐसा क्यों होता है: समझदार सैकड़ा हँसमुख हजार से आगे अवश्य है — 3,700 और 97,600 को +1000 बटन कभी नहीं दिखा सकता। परंतु वह दबंग दहाई से आगे नहीं जा सकता, क्योंकि 100 स्वयं दस दहाइयाँ हैं। कथन तभी सत्य होता जब कोई संख्या 100 की गुणज हो पर 10 की न हो — ऐसी कोई संख्या है ही नहीं।

प्र4.

चतुर चित्ती एक अलग प्रकार का कैलकुलेटर है। इसमें निम्नलिखित बटन हैं — +1, +10, +100, +1000, +10000, +100000 और +1000000। इसमें सदैव काम करने के कई तरीके होते हैं। संख्या 321 प्राप्त करने के लिए वह +10 को 32 बार और +1 को एक बार दबाता है। क्या उसे 321 प्राप्त होगा? वैकल्पिक रूप से वह +100 को दो बार, +10 को बारह बार तथा +1 को एक बार दबा सकता है।

उत्तर

हाँ, दोनों विधियों से ठीक 321 प्राप्त होता है।

विधि 1: (32 × 10) + (1 × 1)
= 320 + 1 = 321 ✓ (33 बार)

विधि 2: (2 × 100) + (12 × 10) + (1 × 1)
= 200 + 120 + 1 = 321 ✓ (15 बार)

ऐसा क्यों होता है: बटन दबाने पर एक निश्चित मान जुड़ता है और योग किसी भी क्रम में किया जा सकता है। अत: कोई भी ऐसा संयोजन काम करेगा जिसका योग 321 हो। चित्ती यही दिखा रहा है कि एक संख्या को कई प्रकार से तोड़ा जा सकता है — 321 = 320 + 1 = 200 + 120 + 1 = 300 + 21 = …

प्रयास करें: एक तीसरी विधि ज्ञात कीजिए। (3 × 100) + (2 × 10) + (1 × 1) = 321 में केवल 6 बार बटन दबाना पड़ता है — यही न्यूनतम है, क्योंकि 3 + 2 + 1 = 6 अंकों का योग है।

प्र5.

5072 को प्राप्त करने के लिए नीचे दो भिन्न प्रकार दिखाए गए हैं। इन दो प्रकारों को निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है — (a) (50 × 100) + (7 × 10) + (2 × 1) = 5072 (b) (3 × 1000) + (20 × 100) + (72 × 1) = 5072। 5072 प्राप्त करने की एक अलग विधि ज्ञात कीजिए और उसी के लिए एक व्यंजक लिखिए।

उत्तर

यहाँ तीन नई विधियाँ दी गई हैं, तीनों ऊपर दी गई दोनों से भिन्न।

विधि 1: (5 × 1000) + (7 × 10) + (2 × 1)
= 5000 + 70 + 2 = 5072 (14 बार)

विधि 2: (4 × 1000) + (10 × 100) + (7 × 10) + (2 × 1)
= 4000 + 1000 + 70 + 2 = 5072 (23 बार)

विधि 3: (5 × 1000) + (72 × 1)
= 5000 + 72 = 5072 (77 बार)

ऐसा क्यों होता है: प्रत्येक विधि 5072 को 1, 10, 100, 1000 … मूल्य के टुकड़ों में बाँटने का एक अलग तरीका है। चूँकि 1000 = 10 × 100 है, आप +1000 के एक बार दबाने को +100 के दस बार दबाने से बदल सकते हैं। इससे योग नहीं बदलता, केवल बटन दबाने की संख्या बदलती है।

संकेत: विधि 1 में 5072 के अपने अंक ही प्रयोग हुए हैं (5 हजार, 0 सैकड़ा, 7 दहाई, 2 इकाई)। यही सदैव सबसे सस्ती विधि होती है — इसे आप पृष्ठ 7 पर सिद्ध करेंगे।

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