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गणित प्रकाश अध्याय 1 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
चतुर चित्ती के पास आपके लिए कुछ प्रश्न हैं — (a) आपको संख्या बनाने के लिए बटन को ठीक 30 बार दबाना है। आप 3 अंकों की सबसे बड़ी संख्या कौन-सी बना सकते हैं? आप 3 अंकों की सबसे छोटी संख्या कौन-सी बना सकते हैं?
उत्तर

सबसे बड़ी = 993। सबसे छोटी = 102।

सबसे बड़ी: अधिक-से-अधिक बार +100 दबाइए।
(9 × 100) + (8 × 10) + (13 × 1)
= 900 + 80 + 13 = 993
कुल बार = 9 + 8 + 13 = 30 ✓

सबसे छोटी: कम-से-कम बार +100 दबाइए।
(0 × 100) + (8 × 10) + (22 × 1)
= 0 + 80 + 22 = 102
कुल बार = 0 + 8 + 22 = 30 ✓
ऐसा क्यों होता है: कुल 30 बार निश्चित है, अत: +1 का एक दबाव +100 में बदलने से संख्या 99 बढ़ जाती है। इसलिए बड़ी संख्या के लिए +100 को अधिक दबाइए — परंतु 10 बार नहीं (वह अकेला 1000 अर्थात 4 अंकों की संख्या हो जाएगा), अत: 9 सीमा है; शेष 21 बार से 93 बनाना है और 8 दहाई + 13 इकाई से यह हो जाता है। छोटी संख्या के लिए +100 का प्रयोग ही मत कीजिए; दहाई और इकाई के 30 दबावों से भी कम-से-कम 100 तक पहुँचना है और 8 दहाई + 22 इकाई = 102 न्यूनतम है।
स्वयं जाँचिए: क्या 101 बन सकता है? इसके लिए 1 सैकड़ा + 0 दहाई + 1 इकाई (2 बार) या 10 दहाई + 1 इकाई (11 बार) चाहिए — दोनों 30 नहीं हैं। अत: 102 ही सबसे छोटी है।
प्र2.
25 बार बटन दबाकर 997 प्राप्त किया जा सकता है। क्या 997 को 25 से कम या अधिक बार बटन दबाकर बना सकते हैं?
उत्तर

हाँ — 997 को कई भिन्न संख्याओं में बटन दबाकर बनाया जा सकता है।

25 बार: (9 × 100) + (9 × 10) + (7 × 1) = 900 + 90 + 7 = 997
कुल = 9 + 9 + 7 = 25

34 बार: (9 × 100) + (8 × 10) + (17 × 1) = 900 + 80 + 17 = 997
कुल = 9 + 8 + 17 = 34

106 बार: (99 × 10) + (7 × 1) = 990 + 7 = 997
कुल = 99 + 7 = 106

997 बार: (997 × 1) = 997
ऐसा क्यों होता है: +100 के एक दबाव को +10 के दस दबावों से बदलने पर योग वही रहता है परंतु 9 दबाव बढ़ जाते हैं; +10 को +1 के दस दबावों से बदलने पर भी 9 दबाव बढ़ते हैं। अत: 997 के लिए संभव दबाव सदैव 25, 34, 43, 52, … होंगे — 25 में 9 का गुणज जोड़ने पर। न्यूनतम 25 (अंकों का योग) और अधिकतम 997 है।
प्र3.
साधारण सिप्पी में निम्नलिखित बटन हैं — +1, +10, +100, +1,000, +10,000, +1,00,000। इसका उपयोग यथासंभव न्यूनतम किया जाना चाहिए। हम कम-से-कम बटन दबाकर संख्याएँ (a) 5072 और (b) 8300 कैसे प्राप्त कर सकते हैं? साथ ही: तालिका में 5072 को 23 बार बटन दबाकर प्राप्त करने की एक विधि दी गई है। क्या 23 से कम बार बटन को दबाकर 5072 प्राप्त करने की कोई अन्य विधि है? इसके लिए एक व्यंजक लिखिए।
उत्तर

हाँ। 5072 को केवल 14 बार और 8300 को केवल 11 बार बटन दबाकर बनाया जा सकता है।

(a) 5072 = (5 × 1000) + (0 × 100) + (7 × 10) + (2 × 1)
कुल बार = 5 + 0 + 7 + 2 = 14

(b) 8300 = (8 × 1000) + (3 × 100) + (0 × 10) + (0 × 1)
कुल बार = 8 + 3 + 0 + 0 = 11

तालिका वाली विधि थी (5 × 1000) + (0 × 100) + (6 × 10) + (12 × 1) = 5000 + 60 + 12 = 5072, अर्थात 5 + 0 + 6 + 12 = 23 बार। 6 दहाई और 12 इकाई के स्थान पर 7 दहाई और 2 इकाई लेने से 9 दबाव बच जाते हैं।

ऐसा क्यों होता है: जब भी आप एक बड़े बटन के स्थान पर दस छोटे बटन दबाते हैं, 9 दबाव व्यर्थ जाते हैं। अत: सबसे सस्ता मार्ग यही है कि किसी भी बटन को 9 बार से अधिक न दबाया जाए — और संख्या के अंक ठीक यही बताते हैं।
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