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गणित प्रकाश अध्याय 1 पता लगाइए

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
पिछले ‘पता लगाइए’ में दी गई संख्याओं के लिए ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक संख्या को कम-से-कम बटन दबाकर कैसे प्राप्त किया जा सकता है और संगत व्यंजक लिखिए।
उत्तर

संख्या के प्रत्येक अंक को उसी के बटन को दबाने की संख्या मान लीजिए।

संख्यान्यूनतम बटन वाला व्यंजककुल बार
(a) 8300(8 × 1000) + (3 × 100)8 + 3 = 11
(b) 40629(4 × 10000) + (0 × 1000) + (6 × 100) + (2 × 10) + (9 × 1)4 + 0 + 6 + 2 + 9 = 21
(c) 56354(5 × 10000) + (6 × 1000) + (3 × 100) + (5 × 10) + (4 × 1)5 + 6 + 3 + 5 + 4 = 23
(d) 66666(6 × 10000) + (6 × 1000) + (6 × 100) + (6 × 10) + (6 × 1)6 × 5 = 30
(e) 367813(3 × 100000) + (6 × 10000) + (7 × 1000) + (8 × 100) + (1 × 10) + (3 × 1)3 + 6 + 7 + 8 + 1 + 3 = 28
ऐसा क्यों होता है: यदि किसी बटन को 10 या उससे अधिक बार दबाया जाए तो उसे अगले बड़े बटन के एक दबाव तथा कुछ छोटे दबावों से बदला जा सकता है, जिससे 9 दबाव बचते हैं। ऐसा बार-बार करने पर प्रत्येक बटन 0 से 9 बार ही दबता है — और यही संख्या का स्थानीय मान रूप है।
प्र2.
क्या आप प्रत्येक संख्या और सबसे कम बार बटन दबाने की संख्या के बीच कोई संबंध देखते हैं?
उत्तर

हाँ — न्यूनतम बटन दबाने की संख्या उस संख्या के अंकों का योग है।

संख्याअंकों का योगन्यूनतम बार
83008 + 3 + 0 + 0 = 1111
406294 + 0 + 6 + 2 + 9 = 2121
563545 + 6 + 3 + 5 + 4 = 2323
666666 + 6 + 6 + 6 + 6 = 3030
3678133 + 6 + 7 + 8 + 1 + 3 = 2828
ऐसा क्यों होता है: प्रत्येक अंक बताता है कि संख्या में उस स्थानीय मान की कितनी इकाइयाँ हैं, और उनमें से प्रत्येक ठीक एक बार बटन दबाने के बराबर है। सभी अंकों को जोड़ने पर कुल दबाव मिल जाते हैं।
प्रयास करें: 5 अंकों की किस संख्या के लिए सबसे अधिक बार बटन दबाना पड़ेगा? 99,999 — अंकों का योग 45। और सबसे कम? 10,000 — केवल 1 बार।
प्र3.
यदि आप ध्यान दें तो सबसे कम बटन दबाने के लिए व्यंजक संख्याओं का भारतीय स्थानीय मान संकेतन दिखाता है। सोचिए ऐसा क्यों है?
उत्तर

क्योंकि स्थानीय मान संकेतन ही संख्या लिखने का “बिना व्यर्थ” तरीका है।

56354 = (5 × 10000) + (6 × 1000) + (3 × 100) + (5 × 10) + (4 × 1)
अंक: 5 | 6 | 3 | 5 | 4
बटन: +10000, +1000, +100, +10, +1
ऐसा क्यों होता है: सिप्पी के बटन 1, 10, 100, 1000 … हैं — ठीक हमारी संख्या पद्धति के स्थानीय मान। यदि कोई बटन 10 या अधिक बार दबाया जाए तो उन दस दबावों को अगले बटन के एक दबाव से बदलकर 9 दबाव बचाए जा सकते हैं। अत: सबसे सस्ती योजना में कोई बटन 9 बार से अधिक नहीं दबता, और 0 से 9 तक की गिनती ही एक अंक है। इसी कारण सबसे सस्ता व्यंजक संख्या के विस्तारित रूप के समान हो जाता है।
क्या आप जानते हैं? इसीलिए हमारी पद्धति को स्थानीय मान पद्धति कहते हैं — अंक की स्थिति बताती है कि वह 10 की कौन-सी घात गिन रहा है।
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