गणित प्रकाश अध्याय 1 पहेली का समय: टूथपिक अंक

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

हम अंकों को चित्र में दिखाए गए तरीके से तीलियों से लिख सकते हैं। अंक 7 को बनाने के लिए 3 तीलियों की आवश्यकता है। संख्या 5,108 को बनाइए। इसके लिए कितनी तीलियों की आवश्यकता है?

उत्तर

20 तीलियाँ।

अंक	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
तीलियाँ	6	2	5	5	4	5	6	3	7	6

5 → 5 तीलियाँ
1 → 2 तीलियाँ
0 → 6 तीलियाँ
8 → 7 तीलियाँ
कुल = 5 + 2 + 6 + 7 = 20 तीलियाँ

ऐसा क्यों होता है: प्रत्येक अंक एक ही सात-खंड वाले ढाँचे पर बनता है, अत: तीलियों की गिनती केवल इस बात पर निर्भर है कि सात में से कितने खंड जले हैं। 8 में सातों लगते हैं और वह सबसे महँगा है; 1 में केवल 2 लगते हैं और वह सबसे सस्ता। यह तालिका सामने रखिए — नीचे के सभी प्रश्नों में इसी की आवश्यकता होगी।

प्र2.

1. संख्या 42,019 को बनाइए। इसके लिए ठीक 23 तीलियों की आवश्यकता होगी। 2. 42,019 से आरंभ करके दो और तीलियों को जोड़कर एक बड़ी संख्या बनाइए। एक उदाहरण 42,078 है। इस प्रकार से आप 42,019 से बड़ी और कौन-कौन सी संख्याएँ बना सकते हो? 3. प्रीतम अंक ‘1’ को अंकों ‘4’, ‘2’, ‘0’, ‘1’ और ‘9’ के बीच कहीं रखना चाहता है। उसे अंक ‘1’ को कहाँ रखना चाहिए कि उसे सबसे बड़ी संभावित संख्या प्राप्त हो? 4. वह अंक ‘1’ को रखकर और कौन-सी संख्याएँ बना सकता है?

उत्तर

1. 42,019 के लिए 4 + 5 + 6 + 2 + 6 = 23 तीलियाँ ✓

2. दो और तीलियों का अर्थ है कि नई संख्या में ठीक 25 तीलियाँ लगें और वह 42,019 से बड़ी हो। कुछ उदाहरण:

42,022 (4+5+6+5+5 = 25) 42,033 42,053 42,064
42,078 (4+5+6+3+7 = 25) — पुस्तक का उदाहरण
42,087 50,019 50,073 99,974 (6+6+6+3+4 = 25) — सबसे बड़ी संभव

3. उसे ‘1’ को ‘2’ और ‘0’ के बीच रखना चाहिए, जिससे 4,21,019 प्राप्त होता है।

1 42019 → 1,42,019
4 1 2019 → 4,12,019
4 2 1 019 → 4,21,019 ← सबसे बड़ी
4 2 0 1 19 → 4,20,119
4 2 0 1 9 1 → 4,20,191

4. वह और ये संख्याएँ बना सकता है — 1,42,019 · 4,12,019 · 4,20,119 · 4,20,191।

ऐसा क्यों होता है: ‘1’ रखने पर उसके दाईं ओर के सभी अंक एक स्थान और बाईं ओर खिसक जाते हैं, अत: यह खिसकाव सबसे बड़े अंकों के बाद ही होना चाहिए। ‘42’ के ठीक बाद ‘1’ रखने से 4 और 2 दोनों ऊँचे स्थानों पर बने रहते हैं और पूरी संख्या छह अंकों की हो जाती है। ध्यान दीजिए कि पहले से मौजूद ‘1’ के ठीक पहले या ठीक बाद रखने से एक ही संख्या 4,20,119 बनती है — अत: भिन्न परिणाम छह नहीं, केवल पाँच हैं।

प्र3.

1. संख्या 63,890 को बनाइए या लिखिए। 2. 63,890 से आरंभ करके ठीक चार तीलियों को पुन: व्यवस्थित कीजिए और एक बड़ी संख्या बनाइए। एक उदाहरण 88,078 है। इस प्रकार से आप 63,890 से बड़ी और कौन-कौन सी संख्याएँ बना सकते हो?

उत्तर

1. 63,890 के लिए 6 + 5 + 7 + 6 + 6 = 30 तीलियाँ चाहिए।

2. तीलियों को पुन: व्यवस्थित करने (जोड़ने या हटाने नहीं) पर कुल तीलियाँ 30 ही रहेंगी। अत: ऐसी 5 अंकों की संख्याएँ खोजिए जो 63,890 से बड़ी हों और जिनमें ठीक 30 तीलियाँ लगें:

88,078 = 7+7+6+3+7 = 30 ✓ (पुस्तक का उदाहरण)
63,896 = 6+5+7+6+6 = 30 ✓
63,908 = 6+5+6+6+7 = 30 ✓
63,980 = 6+5+6+7+6 = 30 ✓
64,880 = 6+4+7+7+6 = 30 ✓
99,999 = 6+6+6+6+6 = 30 ✓ — सबसे बड़ी संभव

ऐसा क्यों होता है: एक तीली को एक स्थान से दूसरे स्थान पर ले जाने से कुल तीलियों की संख्या नहीं बदलती, अत: लक्ष्य संख्या में भी उतनी ही तीलियाँ होनी चाहिए — 30। 30 तीलियों वाली सभी 5 अंकों की संख्याओं में सबसे बड़ी 99,999 है, क्योंकि 9 में 6 तीलियाँ लगती हैं और 6 × 5 = 30 ठीक बैठता है।

स्वयं जाँचिए: तीलियों की गिनती से सूची बनाने के बाद वास्तविक चित्र देखकर पुष्टि कीजिए कि ठीक चार तीलियाँ (न कम, न अधिक) ही हटानी-लगानी पड़ रही हैं। 63,890 → 63,896 के लिए 0 को 6 बनाना पड़ेगा — इसे बनाकर देखिए।

प्र4.

1. ठीक 24 तीलियों या रेखाओं का उपयोग करके कोई भी संख्या बनाइए। 2. 24 तीलियों या रेखाओं का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है? 3. 24 तीलियों या रेखाओं का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली सबसे छोटी संख्या कौन-सी है?

उत्तर

1. ठीक 24 तीलियों वाली अनेक संख्याएँ हैं। तीन सरल उदाहरण:

8887 → 7 + 7 + 7 + 3 = 24 ✓
4,44,444 → 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 24 ✓
2008 → 5 + 6 + 6 + 7 = 24 ✓

2. सबसे बड़ी संख्या है 1,11,11,11,11,111 — बारह 1।

1 में सबसे कम, केवल 2 तीलियाँ लगती हैं।
24 ÷ 2 = 12 अंक
तेरह अंकों के लिए कम-से-कम 13 × 2 = 26 तीलियाँ चाहिए > 24
अत: अधिक-से-अधिक 12 अंक हो सकते हैं और सभी 1 ही होंगे
सबसे बड़ी संख्या = 111111111111

3. सबसे छोटी संख्या है 2008।

कम-से-कम अंक: सबसे महँगा अंक 8 में 7 तीलियाँ लगती हैं,
अत: 3 अंकों से अधिक-से-अधिक 21 तीलियाँ ही लगेंगी — पर्याप्त नहीं।
इसलिए कम-से-कम 4 अंक चाहिए।
पहला अंक 1 (2 तीलियाँ) हो तो शेष 22 तीन अंकों में, पर 3 × 7 = 21 < 22 — असंभव।
अत: पहला अंक 2 (5 तीलियाँ), शेष 19 तीन अंकों के लिए।
अगला अंक जितना छोटा हो सके: 0 (6 तीलियाँ), शेष 13 दो अंकों के लिए।
अगला अंक फिर 0 (6 तीलियाँ), शेष 7 → अंतिम अंक 8।
सबसे छोटी = 2008 (5 + 6 + 6 + 7 = 24 ✓)

ऐसा क्यों होता है: बड़ी संख्या के लिए अधिक अंक होना बड़े अंकों से अधिक लाभदायक है, अत: सबसे सस्ते अंक 1 को जितनी बार हो सके प्रयोग कीजिए। छोटी संख्या के लिए तर्क उलट जाता है — अंक जितने कम हों उतना अच्छा, और फिर बाईं ओर से प्रत्येक स्थान पर सबसे छोटा संभव अंक।

प्रयास करें: अपने प्रश्न बनाइए। 20 तीलियों से सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है? (दस 1: 1111111111।) 20 तीलियों से सबसे छोटी कौन-सी है? स्वयं कीजिए — उत्तर में 3 अंक हैं।

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