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गणित प्रकाश अध्याय 2 पता लगाइए

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
रिक्त स्थानों को संख्याओं से और बक्सों को चिह्नों से भरिए जिससे कि दोनों ओर के व्यंजक समान हों। (a) 3 × (6 + 7) = 3 × 6 + 3 × 7 (b) (8 + 3) × 4 = 8 × 4 + 3 × 4 (c) 3 × (5 + 8) = 3 × 5 ☐ 3 × ____ (d) (9 + 2) × 4 = 9 × 4 ☐ 2 × ____ (e) 3 × (____ + 4) = 3 ____ + ____ (f) (____ + 6) × 4 = 13 × 4 + ____ (g) 3 × (____ + ____) = 3 × 5 + 3 × 2 (h) (____ + ____) × ____ = 2 × 4 + 3 × 4 (i) 5 × (9 – 2) = 5 × 9 – 5 × ____ (j) (5 – 2) × 7 = 5 × 7 – 2 × ____ (k) 5 × (8 – 3) = 5 × 8 ☐ 5 × ____ (l) (8 – 3) × 7 = 8 × 7 ☐ 3 × 7 (m) 5 × (12 – ____) = ____ ☐ 5 × ____ (n) (15 – ____) × 7 = ____ ☐ 6 × 7 (o) 5 × (____ – ____) = 5 × 9 – 5 × 4 (p) (____ – ____) × ____ = 17 × 7 – 9 × 7
उत्तर

बाहर की संख्या को कोष्ठक के प्रत्येक पद से गुणा कीजिए और हर पद का चिह्न वैसा ही रखिए।

(a) 3 × (6 + 7) = 3 × 6 + 3 × 7  (दिया गया)
(b) (8 + 3) × 4 = 8 × 4 + 3 × 4  (दिया गया)
(c) 3 × (5 + 8) = 3 × 5 + 3 × 8
(d) (9 + 2) × 4 = 9 × 4 + 2 × 4
(e) 3 × (10 + 4) = 3 × 10 + 3 × 4
(f) (13 + 6) × 4 = 13 × 4 + 6 × 4
(g) 3 × (5 + 2) = 3 × 5 + 3 × 2
(h) (2 + 3) × 4 = 2 × 4 + 3 × 4
(i) 5 × (9 – 2) = 5 × 9 – 5 × 2
(j) (5 – 2) × 7 = 5 × 7 – 2 × 7
(k) 5 × (8 – 3) = 5 × 8 – 5 × 3
(l) (8 – 3) × 7 = 8 × 7 – 3 × 7
(m) 5 × (12 – 3) = 5 × 12 – 5 × 3
(n) (15 – 6) × 7 = 15 × 7 – 6 × 7
(o) 5 × (9 – 4) = 5 × 9 – 5 × 4
(p) (17 – 9) × 7 = 17 × 7 – 9 × 7
ऐसा क्यों होता है: वितरण गुण कहता है कि a × (b + c) = a × b + a × c तथा a × (b – c) = a × b – a × c। (e) और (m) में पहले रिक्त स्थान पर कोई भी संख्या रखी जा सकती है, बस दाईं ओर वही संख्या दोहरानी होगी — जैसे 3 × (7 + 4) = 3 × 7 + 3 × 4 भी सही है।
स्वयं जाँचिए: (m) 5 × 9 = 45 और 60 – 15 = 45 ✓ ; (n) 9 × 7 = 63 और 105 – 42 = 63 ✓
प्र2.
दाईं और बाईं ओर के व्यंजकों का विश्लेषण करके नीचे बक्सों में ‘>’, ‘<’ या ‘=’ भरिए। इसका पता लगाने के लिए व्यंजकों को हल किए बिना, तर्क और पदों व कोष्ठकों की समझ का उपयोग कीजिए। (a) (8 – 3) × 29 ☐ (3 – 8) × 29 (b) 15 + 9 × 18 ☐ (15 + 9) × 18 (c) 23 × (17 – 9) ☐ 23 × 17 + 23 × 9 (d) (34 – 28) × 42 ☐ 34 × 42 – 28 × 42
उत्तर
(a) (8 – 3) × 29 > (3 – 8) × 29
     8 – 3 धनात्मक (5) है जबकि 3 – 8 ऋणात्मक (–5); एक ही गुणक 29 क्रम बनाए रखता है।

(b) 15 + 9 × 18 < (15 + 9) × 18
     बाईं ओर केवल 9 को 18 से गुणा किया जाता है; दाईं ओर 15 और 9 दोनों को, अत: 15 × 17 अधिक जुड़ता है।

(c) 23 × (17 – 9) < 23 × 17 + 23 × 9
     बाईं ओर = 23 × 17 – 23 × 9, अर्थात 23 × 9 घटता है जबकि दाईं ओर वही जुड़ता है।

(d) (34 – 28) × 42 = 34 × 42 – 28 × 42
     यह ठीक वितरण गुण है।
ऐसा क्यों होता है: यहाँ गुणा करने की आवश्यकता ही नहीं। (c) में दोनों ओर 23 × 17 का भाग समान है; एक ओर 23 × 9 घटाया जाता है और दूसरी ओर जोड़ा जाता है, अत: जोड़ने वाली ओर ही बड़ी होगी।
स्वयं जाँचिए: (a) 145 > –145 ✓   (b) 177 < 432 ✓   (c) 184 < 598 ✓   (d) 252 = 252 ✓
प्र3.
यहाँ 14 बनाने का एक तरीका 2 × (1 + 6) = 14 है। क्या 14 प्राप्त करने के अन्य तरीके भी हैं? उन्हें नीचे दिए गए रिक्त स्थानों में भरिए — (a) ____ × (____ + ____) = 14 (b) ____ × (____ + ____) = 14 (c) ____ × (____ + ____) = 14 (d) ____ × (____ + ____) = 14
उत्तर

पहले 14 को गुणनफल के रूप में तोड़िए, फिर किसी एक गुणनखंड को योग के रूप में तोड़िए।

14 = 2 × 7 = 7 × 2 = 1 × 14 = 14 × 1
व्यंजकजाँच
(a)2 × (5 + 2) = 142 × 7 = 14
(b)2 × (3 + 4) = 142 × 7 = 14
(c)7 × (1 + 1) = 147 × 2 = 14
(d)14 × (0 + 1) = 1414 × 1 = 14

अन्य उत्तर: 1 × (7 + 7), 2 × (6 + 1), 7 × (0 + 2)।

ऐसा क्यों होता है: कोष्ठक का योग ऐसी संख्या होनी चाहिए जो 14 को पूरा-पूरा विभाजित करे — अर्थात 1, 2, 7 या 14। योग तय हो जाने पर उसके अंदर की दो संख्याएँ किसी भी प्रकार चुनी जा सकती हैं।
प्र4.
नीचे दिए गए प्रत्येक चित्र में संख्याओं का योगफल (कम से कम दो अलग तरीकों से) ज्ञात कीजिए। व्याख्या कीजिए कि आपने इसे व्यंजकों के द्वारा कैसे हल किया?
उत्तर

चित्र (I) — 3 × 3 की व्यवस्था: 4 लिखे पाँच पीले वर्ग और 8 लिखे चार नीले वृत्त, पासे के बिंदुओं जैसी व्यवस्था में।

484
848
484
तरीका 1 (रंग के अनुसार): 5 × 4 + 4 × 8
= 20 + 32 = 52

तरीका 2 (पंक्ति के अनुसार): (4 + 8 + 4) + (8 + 4 + 8) + (4 + 8 + 4)
= 16 + 20 + 16 = 52

तरीका 3: 2 × (4 + 8 + 4) + (8 + 4 + 8)
= 2 × 16 + 20 = 32 + 20 = 52

चित्र (II) — 4 × 4 की वृत्तों की व्यवस्था: 5 लिखे आठ नीले वृत्त और 6 लिखे आठ लाल वृत्त।

5665
6556
6556
5665
तरीका 1 (रंग के अनुसार): 8 × 5 + 8 × 6
= 40 + 48 = 88

तरीका 2 (वितरण गुण): 8 × (5 + 6)
= 8 × 11 = 88

तरीका 3 (पंक्ति के अनुसार): प्रत्येक पंक्ति का योग 22, और 4 पंक्तियाँ
4 × 22 = 88
ऐसा क्यों होता है: चित्र (II) के तरीका 1 और तरीका 2 वितरण गुण के दो पक्ष ही हैं: 8 × 5 + 8 × 6 = 8 × (5 + 6)। रंग के अनुसार या पंक्ति के अनुसार समूह बनाने से वही संख्याएँ भिन्न क्रम में गिनी जाती हैं, इसलिए योगफल नहीं बदल सकता।
सुझाव: जोड़ने से पहले प्रतिरूप देखिए। चित्र (I) में चारों कोने और केंद्र सब 4 हैं तथा चारों भुजाओं के मध्य 8 हैं — इससे तुरंत 5 × 4 + 4 × 8 मिल जाता है।
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