गणित प्रकाश अध्याय 3 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

क्या आप बता सकते हैं कि उपरोक्त में से कौन-सी संख्या सबसे छोटी है तथा कौन-सी सबसे बड़ी है?

उत्तर

0.2, 0.20, 0.200, 0.02 और 0.002 की तुलना —

0.2 = 0.20 = 0.200 = ²⁰⁰⁄₁₀₀₀
0.02 = ²⁰⁄₁₀₀₀
0.002 = ²⁄₁₀₀₀
क्रम: 0.002 < 0.02 < 0.2 = 0.20 = 0.200
सबसे बड़ी: 0.2 (= 0.20 = 0.200) सबसे छोटी: 0.002

ऐसा क्यों होता है: पाँचों को तीन-तीन दशमलव स्थानों में लिख लेने पर तुलना सरल हो जाती है — 200, 20 और 2 सहस्त्रांश। सबसे बड़ी संख्या अगली से दस गुनी और सबसे छोटी से सौ गुनी है।

प्र2.

इनमें से कौन-कौन सी संख्याएँ समान हैं? 4.5, 4.05, 0.405, 4.50, 4.005, 04.50

उत्तर

संख्या	इकाई	दशांश	शतांश	सहस्त्रांश
4.5	4	5	0	0
4.05	4	0	5	0
0.405	0	4	0	5
4.50	4	5	0	0
4.005	4	0	0	5
04.50	4	5	0	0

4.5 = 4.50 = 04.50
0.405 तथा 4.005 शेष सभी से भिन्न हैं।

ऐसा क्यों होता है: दोनों सिरों के शून्य — पहले अंक से पहले या अंतिम अंक के बाद — केवल सजावट हैं। अंकों के बीच के शून्य ऐसे नहीं हैं: 4.05 का 0 ही 5 को शतांश के स्थान पर रोके रखता है और 4.005 के दो शून्य 5 को सहस्त्रांश के स्थान तक धकेल देते हैं।

ध्यान दीजिए: अंग्रेजी संस्करण में इसी प्रश्न में एक और संख्या 4.050 भी दी गई है, जो 4.05 के बराबर है। हिंदी संस्करण की सूची में वह छूट गई है।

प्र3.

चित्र (b) की अंतिम संख्या रेखा में उस दशमलव संख्या की पहचान कीजिए जिसे ‘?’ द्वारा व्यक्त किया गया है।

उत्तर

एक-एक स्तर करके आवर्धन का अनुसरण कीजिए।

स्तर 1: बक्सा 3 और 4 के बीच है → संख्या 3 से प्रारंभ होती है
स्तर 2 (3 से 4): बक्सा 3.0 और 3.1 के बीच है → 3.0…
स्तर 3 (3.0 से 3.1): बक्सा 3.05 और 3.06 के बीच है → 3.05…
स्तर 4 (3.05 से 3.06): तीर 10 में से 9वें चिह्न पर है
? = 3.05 + 9 × 0.001 = 3.059

ऐसा क्यों होता है: प्रत्येक आवर्धन पिछले अंतराल को 10 समान भागों में काटता है, अत: हर स्तर एक और दशमलव अंक निश्चित करता है — पहले इकाई, फिर दशांश, फिर शतांश, फिर सहस्त्रांश।

संकेत: चित्र (a) से तुलना कीजिए, जहाँ यही चार स्तर 4.185 पर पहुँचाते हैं: 4 → 4.1 → 4.18 → 4.185।

प्र4.

ऐसी ही संख्या रेखाएँ निम्नलिखित दशमलव संख्याओं के लिए बनाइए — (a) 9.876 (b) 0.407

उत्तर

चार संख्या रेखाएँ खींचिए, जिनमें प्रत्येक ऊपरवाली रेखा के एक भाग को आवर्धित करे।

स्तर	(a) 9.876 के लिए	(b) 0.407 के लिए
1	0 से 10, 9 और 10 के बीच का भाग अंकित कीजिए	0 से 10, 0 और 1 के बीच का भाग अंकित कीजिए
2	9 से 10 दशांशों में, 9.8 से 9.9 अंकित कीजिए	0 से 1 दशांशों में, 0.4 से 0.5 अंकित कीजिए
3	9.8 से 9.9 शतांशों में, 9.87 से 9.88 अंकित कीजिए	0.4 से 0.5 शतांशों में, 0.40 से 0.41 अंकित कीजिए
4	9.87 से 9.88 सहस्त्रांशों में, तीर 6वें चिह्न पर → 9.876	0.40 से 0.41 सहस्त्रांशों में, तीर 7वें चिह्न पर → 0.407

9.876 तक पहुँचने का आवर्धन — पुस्तक के चित्र (a) जैसा चार-चरणीय क्रम।

ऐसा क्यों होता है: किसी दशमलव संख्या की स्थिति उसे दो चिह्नों के बीच घेरकर, फिर उस अंतराल को 10 में बाँटकर पुन: घेरकर निकाली जाती है। प्रत्येक विभाजन अगला अंक प्रकट करता है।

प्र5.

नीचे दर्शाई संख्या रेखा में, ‘a’, ‘b’ और ‘c’ से अंकित बक्से कौन-सी दशमलव संख्याएँ व्यक्त करते हैं? ‘b’ से अंकित बक्सा दशमलव संख्या 7.5 के संगत है। … ‘a’ और ‘c’ कौन-सी संख्याएँ व्यक्त करते हैं?

उत्तर

5 और 10 के बीच 5 इकाइयाँ हैं और यह अंतराल 10 समान भागों में बँटा है।

प्रत्येक विभाजन का माप = 5 ÷ 10 = ¹⁄₂ इकाई = 0.5

a दूसरे विभाजन पर है → 5 + 2 × 0.5 = 6
b पाँचवें विभाजन पर है → 5 + 5 × 0.5 = 7.5 ✓
c नौवें विभाजन पर है → 5 + 9 × 0.5 = 9.5

ऐसा क्यों होता है: विभाजनों की संख्या का इकाइयों की संख्या से मेल होना आवश्यक नहीं। यहाँ प्रत्येक दो विभाजनों से एक इकाई बनती है, अत: एक विभाजन आधी इकाई अर्थात 0.5 है। कोई भी चिह्न पढ़ने से पहले एक विभाजन का माप अवश्य निकालिए।

स्वयं जाँचिए: 5 से 0.5-0.5 गिनने पर 5.5, 6, 6.5, 7, 7.5, 8, 8.5, 9, 9.5, 10 — दस चरणों में ठीक 10 पर।

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