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गणित प्रकाश अध्याय 3 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
हम इस बिंदु पर आकर क्यों रुक सकते हैं? क्या हम सुनिश्चित कर सकते हैं कि इसके बाद जो भी अंक आएँगे उनसे हमारे निष्कर्ष पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा?
उत्तर

हाँ, हम रुक सकते हैं और हाँ, हम सुनिश्चित हो सकते हैं।

शतांश के स्थान पर 6.465 में 6.456 से 1 शतांश अधिक है।
1 शतांश = 10 सहस्त्रांश
6.456 के सभी शेष स्थान मिलकर अधिक-से-अधिक 0.00999… जोड़ सकते हैं, जो 0.01 से कम है।
अत: एक शतांश की यह बढ़त कभी पाटी नहीं जा सकती।
ऐसा क्यों होता है: प्रत्येक स्थान अपने बाद आने वाले सभी स्थानों के कुल जोड़ से दस गुना अधिक मूल्य रखता है। एक बार किसी स्थान पर बढ़त मिल जाने के बाद छोटे स्थानों का कोई भी संयोजन परिणाम नहीं पलट सकता — इसी कारण 500 > 499 है, चाहे आगे कोई भी अंक जोड़ें।
संकेत: शब्दकोश में नाम इसी तरह क्रम में लगते हैं — पहला भिन्न अक्षर ही निर्णय कर देता है, शेष शब्द से कोई अंतर नहीं पड़ता।
प्र2.
कौन-सी दशमलव संख्या बड़ी है? (a) 1.23 या 1.32 (b) 3.81 या 13.800 (c) 1.009 या 1.090
उत्तर
तुलनापहला अंतरबड़ी
(a) 1.23 , 1.32इकाई 1 = 1; दशांश 2 और 3दशांश1.32
(b) 3.81 , 13.8003 में 0 दहाई, 13 में 1 दहाईदहाई13.800
(c) 1.009 , 1.090इकाई और दशांश 0 = 0; शतांश 0 और 9शतांश1.090
ऐसा क्यों होता है: (b) में 13.800 के तीन दशमलव स्थानों से भ्रमित मत होइए — पूर्ण संख्या भाग ही तुरंत निर्णय कर देते हैं, 13 > 3। (c) में 1.009, 1 से नौ सहस्त्रांश ऊपर है जबकि 1.090, 1 से नब्बे सहस्त्रांश ऊपर, अत: 1.090 दस गुने अंतर से बड़ी है।
प्र3.
उपरोक्त में कौन-सी संख्या 1.09 के निकटतम है?
उत्तर

संख्याएँ थीं 0.9, 1.1, 1.01 और 1.11। प्रत्येक की 1.09 से दूरी निकालिए।

संख्या1.09 से दूरी
0.91.09 – 0.90 = 0.19
1.11.10 – 1.09 = 0.01
1.011.09 – 1.01 = 0.08
1.111.11 – 1.09 = 0.02
सबसे कम दूरी = 0.01, अत: 1.1 संख्या 1.09 के निकटतम है।
ऐसा क्यों होता है: "निकटतम" का अर्थ है सबसे कम अंतर, सबसे छोटी संख्या नहीं। सभी संख्याओं को समान दो दशमलव स्थानों में (0.90, 1.10, 1.01, 1.11) लिख लेने पर घटाव सरल और सुरक्षित हो जाता है।
प्र4.
इनमें से कौन-सी संख्या 4 के निकटतम है — 3.56, 3.65, 3.099?
उत्तर
संख्या4 से दूरी
3.564 – 3.56 = 0.44
3.654 – 3.65 = 0.35
3.0994 – 3.099 = 0.901
3.65 संख्या 4 के निकटतम है।
ऐसा क्यों होता है: तीनों संख्याएँ 4 से छोटी हैं, अत: इनमें सबसे बड़ी ही 4 के सबसे पास होगी। 3.65 > 3.56 है क्योंकि 6 दशांश 5 दशांश से बड़े हैं, और 3.099 में तो 0 दशांश ही हैं, इसलिए वह बहुत पीछे रह जाती है।
प्र5.
इनमें से कौन-सी संख्या 1 के निकटतम है — 0.8, 0.69, 1.08?
उत्तर
संख्या1 से दूरी
0.81 – 0.8 = 0.2
0.691 – 0.69 = 0.31
1.081.08 – 1 = 0.08
1.08 संख्या 1 के निकटतम है।
ऐसा क्यों होता है: यहाँ निकटतम संख्या 1 से ऊपर है, नीचे नहीं। दूरी दोनों दिशाओं में नापी जाती है, अत: संख्याओं के आकार से अनुमान लगाने के बजाय वास्तविक अंतर की तुलना कीजिए।
प्र6.
नीचे दी प्रत्येक स्थिति में अंकों 4, 1, 8, 2 और 5 का केवल एक बार उपयोग करते हुए 25 के निकटतम संभावित दशमलव संख्या को बनाने का प्रयास कीजिए।
उत्तर

बक्सों का आकार यह तय कर देता है कि दशमलव बिंदु से पहले कितने अंक आएँगे, इसलिए हर पंक्ति का उत्तर अलग है।

बक्सों का रूपसर्वोत्तम संख्या25 से दूरी
□□.□□□25.1480.148
□.□□□8.54216.458
□□□.□□124.5899.58
पंक्ति 1: पूर्ण संख्या भाग 24 या 25 हो सकता है।
25 से ऊपर सर्वोत्तम: 25.148 → अंतर 0.148
25 से नीचे सर्वोत्तम: 24.851 → अंतर 0.149
अत: 25.148 जीतती है, यद्यपि बहुत थोड़े अंतर से।

पंक्ति 2: बिंदु से पहले केवल एक अंक, अत: सबसे बड़ी संभव संख्या 8.542।

पंक्ति 3: बिंदु से पहले तीन अंक, अत: सबसे छोटी संभव संख्या 124.58।
ऐसा क्यों होता है: पंक्ति 1 में हम 25 तक पहुँच सकते हैं, इसलिए भिन्नात्मक भाग को जितना छोटा हो सके बनाते हैं — 1, 4, 8 इसी क्रम में। पंक्ति 2 और 3 में 25 पहुँच से बाहर है, अत: हम अंकों से जितना ऊपर (या नीचे) जा सकते हैं उतना जाते हैं।
स्वयं जाँचिए: 24.851 का अंतर 0.149 है और 25.148 का 0.148 — केवल एक सहस्त्रांश का फर्क। निर्णय से पहले दोनों ओर की तुलना अवश्य कीजिए।
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