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गणित प्रकाश अध्याय 4 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
उदाहरण 12 — सोमजीत ने एक साड़ी के किनारे पर एक दोहराव वाले पैटर्न (A B C D E F …) को देखा। सोमजीत को आश्चर्य होता है कि क्या सभी स्थितियों का वर्णन करने की कोई ऐसी विधि है जहाँ (i) डिजाइन A, (ii) डिजाइन B एवं (iii) डिजाइन C विद्यमान है।
उत्तर

किनारा तीन-तीन के समूहों में दोहराता है — A, B, C, A, B, C, …

डिजाइनजिन स्थानों पर आता हैnवीं बार का सूत्र
A1, 4, 7, 10, 13, …3n – 2
B2, 5, 8, 11, 14, …3n – 1
C3, 6, 9, 12, 15, …3n
ऐसा क्यों होता है: चित्र में D, E, F वास्तव में A, B, C का ही दोहराव हैं। हर तीसरे स्थान पर C आता है, अतः C के स्थान 3 के गुणज हैं। B सदैव C से एक स्थान पहले और A दो स्थान पहले आता है।
प्र2.
डिजाइन C nवीं बार कहाँ दिखाई देगा?
उत्तर

डिजाइन C पहली बार स्थान 3 पर, फिर 6 पर, फिर 9 पर आता है — अर्थात 3 के गुणजों पर।

C का nवीं बार आना स्थान 3n पर होगा
स्वयं जाँचिए: 20वाँ C स्थान 3 × 20 = 60 पर होगा।
प्र3.
इसी प्रकार अन्य डिजाइनों के लिए nवीं बार विद्यमान होने की स्थितियों के लिए सूत्र ज्ञात कीजिए।
उत्तर

B के स्थान 2, 5, 8, 11, 14, … हैं — सदैव 3 के गुणज से एक कम।

डिजाइन B का nवीं बार आना: 3n – 1
डिजाइन A का nवीं बार आना: 3n – 2
ऐसा क्यों होता है: तीन के हर समूह में C अंत में, B उससे ठीक पहले एवं A उससे भी पहले आता है। अतः उनके स्थान क्रमशः 3n, 3n – 1 एवं 3n – 2 हैं।
प्र4.
दी गई संख्या के लिए क्या हम बता सकते हैं कि वहाँ कौन-सा डिजाइन विद्यमान होगा? स्थिति 122 पर कौन-सा डिजाइन विद्यमान होगा?
उत्तर

हाँ, और स्थान 122 पर डिजाइन B होगा।

122 = 3 × 41 – 1
अर्थात 122, गुणज 123 से एक कम है
3n – 1 रूप वाले स्थानों पर डिजाइन B होता है
ऐसा क्यों होता है: हर स्थान या तो 3 का गुणज है (→ C), या गुणज से एक कम (→ B), या दो कम (→ A)। चौथी कोई संभावना नहीं है।
प्र5.
क्या इसके लिए स्थान संख्या को 3 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल को उपयोग में लाया जा सकता है? नीचे दी गई सारणी को ध्यान से देखिए। (99 → भागफल 33, शेषफल 0; 122 → भागफल 40, शेषफल 2; 148 → भागफल 49, शेषफल 1)
उत्तर

हाँ। केवल शेषफल से ही डिजाइन तय हो जाता है।

3 से भाग देने पर शेषफलस्थान का रूपडिजाइन
03nC
13n + 1, अर्थात 3(n+1) – 2A
23n + 2, अर्थात 3(n+1) – 1B
स्वयं जाँचिए: स्थान 1 का शेषफल 1 है और वहाँ A है ✔। स्थान 2 का शेषफल 2 है और वहाँ B है ✔। स्थान 3 का शेषफल 0 है और वहाँ C है ✔
प्र6.
इस सारणी का उपयोग स्थितियों 99, 122 एवं 148 पर विद्यमान डिजाइन को ज्ञात करने में कीजिए।
उत्तर
स्थान3 से भागशेषफलडिजाइन
9999 = 3 × 33 + 00C
122122 = 3 × 40 + 22B
148148 = 3 × 49 + 11A
99 = 3 × 33 → डिजाइन C
122 = 3 × 41 – 1 → डिजाइन B
148 = 3 × 50 – 2 → डिजाइन A
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