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गणित प्रकाश अध्याय 4 सूत्र खोजो

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
दिए गए चित्र को देखिए। हर बार संख्या-मशीन ‘Y’ के शीर्ष पर 2 संख्याओं को निविष्ट (Input) के रूप में लेती है, कुछ संक्रियाएँ करती है एवं नीचे परिणाम देती है। इस संख्या-मशीन के सूत्र का पता लगाइए। (निविष्ट एवं परिणाम — 5, 2 → 8; 8, 1 → 15; 9, 11 → 7; 10, 10 → 10; 6, 4 → ?)
उत्तर

सूत्र है ‘पहली संख्या के दुगुने में से दूसरी संख्या घटाना’, अर्थात 2a – b।

निविष्ट (a, b)व्यंजकपरिणाम
5, 22 × 5 – 28
8, 12 × 8 – 115
9, 112 × 9 – 117
10, 102 × 10 – 1010
6, 42 × 6 – 48
ऐसा क्यों होता है: केवल एक उदाहरण कभी पर्याप्त नहीं होता — 5 एवं 2 पर ‘a + b + 1’ भी सही बैठता है। प्रत्येक जोड़े पर नियम जाँचने से ही 2a – b की पुष्टि होती है।
प्र2.
नीचे दी गई संख्या-मशीनों के लिए सूत्रों का पता लगाइए और प्रत्येक समूह के निविष्ट के लिए व्यंजक लिखिए। (मशीन 1: 5, 2 → 5; 8, 1 → 7; 9, 11 → 18; 10, 10 → 18; a, b → ? मशीन 2: 4, 1 → 5; 6, 0 → 1; 3, 2 → 7; 10, 3 → ?; a, b → ?)
उत्तर

मशीन 1 — ‘दोनों संख्याओं को जोड़कर 2 घटाना’, अर्थात a + b – 2।

निविष्टव्यंजकपरिणाम
5, 25 + 2 – 25
8, 18 + 1 – 27
9, 119 + 11 – 218
10, 1010 + 10 – 218
a, ba + b – 2a + b – 2

मशीन 2 — ‘दोनों संख्याओं का गुणनफल निकालकर 1 जोड़ना’, अर्थात ab + 1।

निविष्टव्यंजकपरिणाम
4, 14 × 1 + 15
6, 06 × 0 + 11
3, 23 × 2 + 17
10, 310 × 3 + 131
a, ba × b + 1ab + 1
संकेत: मशीन 2 का रहस्य (6, 0) वाला जोड़ा खोलता है। केवल जोड़ने वाला कोई नियम 6 या 7 देता; 6 को 1 तक गिराना केवल गुणा से ही संभव है।
प्र3.
अब आप स्वयं का एक सूत्र बनाइए। उस सूत्र का उपयोग करके उदाहरणों के रूप में कुछ संख्या-मशीनें लिखिए। अपने सहपाठियों को इसका पता लगाने की चुनौती दीजिए।
उत्तर

यह लीजिए एक उदाहरण। सूत्र: 3a – 2b — ‘पहली संख्या का तिगुना घटा दूसरी संख्या का दुगुना’।

निविष्ट (a, b)हलपरिणाम
4, 13 × 4 – 2 × 110
5, 53 × 5 – 2 × 55
2, 33 × 2 – 2 × 30
7, 23 × 7 – 2 × 217
1, 43 × 1 – 2 × 4–5
प्रयास करें: ऊपर की तरह एक जोड़ा ऐसा रखिए जिससे 0 मिले और एक ऐसा जिससे ऋणात्मक उत्तर मिले। ये दो स्थितियाँ अनुमान लगाना कहीं कठिन — और कहीं अधिक रोचक — बना देती हैं।
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