गणित प्रकाश अध्याय 4 त्रुटियाँ ढूँढ़िए, त्रुटियाँ सुधारिए

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
3a + 2b → दिया गया सरलतम रूप: 5
उत्तर

त्रुटि है। विजातीय पदों को जोड़ दिया गया।

सही सरलतम रूप: 3a + 2b
ऐसा क्यों होता है: 3 एवं 2 को जोड़कर अक्षर छोड़ दिए गए। किंतु a एवं b भिन्न अक्षर-संख्याएँ हैं, अतः 3a एवं 2b विजातीय पद हैं और इन्हें मिलाया नहीं जा सकता।
प्र2.
3b – 2b – b → दिया गया सरलतम रूप: 0
उत्तर

कोई त्रुटि नहीं।

3b – 2b – b = (3 – 2 – 1)b = 0 × b = 0
प्र3.
6 (p + 2) → दिया गया सरलतम रूप: 6p + 8
उत्तर

त्रुटि है। 6 को केवल p से गुणा करके 2 जोड़ दिया गया।

6 (p + 2) = 6 × p + 6 × 2
= 6p + 12
ऐसा क्यों होता है: वितरण गुण के अनुसार गुणक कोष्ठक के प्रत्येक पद तक पहुँचता है।
प्र4.
(4x + 3y) – (3x + 4y) → दिया गया सरलतम रूप: x + y
उत्तर

त्रुटि है। y वाले पद का चिह्न नहीं बदला गया।

(4x + 3y) – (3x + 4y)
= 4x + 3y – 3x – 4y
= (4 – 3)x + (3 – 4)y
= x – y
प्र5.
5 – (2 – 6z) → दिया गया सरलतम रूप: 3 – 6z
उत्तर

त्रुटि है। कोष्ठक के केवल पहले पद का चिह्न बदला गया।

5 – (2 – 6z) = 5 – 2 + 6z
= 3 + 6z
स्वयं जाँचिए: z = 1 पर 5 – (2 – 6) = 5 – (–4) = 9, और 3 + 6 = 9 ✔, जबकि 3 – 6 = –3 ✘
प्र6.
2 + (x + 3) → दिया गया सरलतम रूप: 2x – 6
उत्तर

त्रुटि है। कोष्ठक को गुणा समझ लिया गया।

2 + (x + 3) = 2 + x + 3
= x + 5
ऐसा क्यों होता है: कोष्ठक के पहले धन चिह्न है, अतः कोष्ठक को सीधे हटाया जा सकता है।
प्र7.
2y + (3y – 6) → दिया गया सरलतम रूप: – y + 6
उत्तर

त्रुटि है। कोष्ठक के पहले धन चिह्न होने पर भी अंदर के चिह्न बदल दिए गए।

2y + (3y – 6) = 2y + 3y – 6
= 5y – 6
प्र8.
7p – p + 5q – 2q → दिया गया सरलतम रूप: 7p + 3q
उत्तर

त्रुटि है। – p को छोड़ दिया गया।

7p – p + 5q – 2q
= (7 – 1)p + (5 – 2)q
= 6p + 3q
संकेत: अकेला लिखा अक्षर, जैसे p, वास्तव में 1p होता है। उसे गिनना आवश्यक है।
प्र9.
5 (2w + 3x + 4w) → दिया गया सरलतम रूप: 10w + 15x + 20w
उत्तर

त्रुटि है। वितरण तो ठीक हुआ, किंतु सजातीय पद नहीं जोड़े गए — अतः यह सरलतम रूप नहीं है।

5 (2w + 3x + 4w) = 5 (6w + 3x)
= 30w + 15x
संकेत: कोष्ठक के अंदर ही सजातीय पद जोड़ लीजिए — 2w + 4w = 6w — तो काम छोटा हो जाता है।
प्र10.
3j + 6k + 9h + 12 → दिया गया सरलतम रूप: 3 (j + 2k + 3h + 4)
उत्तर

त्रुटि है। यह उत्तर समान व्यंजक तो है, किंतु सरलतम रूप नहीं है क्योंकि कोष्ठक अब भी बना हुआ है।

सही सरलतम रूप: 3j + 6k + 9h + 12
ऐसा क्यों होता है: इस अध्याय में ‘सरलतम रूप’ का अर्थ है — कोष्ठक हटा दिए गए, सजातीय पद जोड़ दिए गए एवं केवल संख्याओं वाले पद भी जोड़ दिए गए। दिया गया व्यंजक पहले से ही ऐसा है, उसे बदलने की आवश्यकता ही नहीं थी।
प्र11.
4 (2r + 3s + 5) → दिया गया सरलतम रूप: – 20 – 8r – 12s
उत्तर

त्रुटि है। कहीं ऋण चिह्न न होने पर भी हर पद को ऋणात्मक बना दिया गया।

4 (2r + 3s + 5) = 4 × 2r + 4 × 3s + 4 × 5
= 8r + 12s + 20
प्र12.
सभी सही सरलतम रूपों पर दृष्टि डालिए (जैसे कोष्ठकों को हटा दिया गया है, सजातीय पदों का योग कर दिया गया है एवं केवल संख्याओं वाले पदों का भी योग कर दिया गया है)। क्या इन व्यंजकों में पदों की संख्या एवं अक्षर-संख्याओं की संख्या में कोई संबंध है?
उत्तर
क्र.सही सरलतम रूपपदों की संख्याअक्षर-संख्याओं की संख्या
13a + 2b22
2010
36p + 1221
4x – y22
53 + 6z21
6x + 521
75y – 621
86p + 3q22
930w + 15x22
103j + 6k + 9h + 1243
118r + 12s + 2032

हाँ। हर पंक्ति में अक्षर-संख्याओं की संख्या पदों की संख्या से कभी अधिक नहीं है —

अक्षर-संख्याओं की संख्या ≤ पदों की संख्या
ऐसा क्यों होता है: पूरी तरह सरल किए गए व्यंजक में प्रत्येक अक्षर-संख्या केवल एक ही पद में आ सकती है — उसके सारे सजातीय पद पहले ही जोड़े जा चुके होते हैं। इसके अतिरिक्त केवल संख्याओं वाला एक पद और हो सकता है, जिसमें कोई अक्षर नहीं होता। अतः पद अधिक हो सकते हैं, कम कभी नहीं।
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