गणित प्रकाश अध्याय 4 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

नीचे दिए गए चित्रों को देखिए। यह माचिस की तीलियों से बनाया गया एक पैटर्न है। क्या आप पहचान सकते हैं कि पैटर्न क्या है?

उत्तर

प्रत्येक चरण में पंक्ति में एक त्रिभुज और जुड़ता है, किंतु केवल 2 अतिरिक्त तीलियाँ लगती हैं, क्योंकि नया त्रिभुज पिछले त्रिभुज के साथ एक भुजा साझा करता है।

चरण संख्या	1	2	3	4	5	6
त्रिभुज	1	2	3	4	5	6
माचिस की तीलियों की संख्या	3	5	7	9	11	13

ऐसा क्यों होता है: पहले त्रिभुज को तीनों भुजाएँ चाहिए। उसके बाद पिछले त्रिभुज की तिरछी भुजा फिर से उपयोग हो जाती है, अतः केवल 2 नई तीलियाँ लगती हैं।

प्र2.

क्या आप बता सकते हैं कि अगले चरण (5वें चरण) में कितनी माचिस की तीलियाँ होंगी?

उत्तर

चरण 4 में 9 तीलियाँ हैं, और हर चरण में 2 जुड़ती हैं।

चरण 5 = 9 + 2 = 11 तीलियाँ

प्र3.

चरण 33, चरण 84 एवं चरण 108 में कितनी माचिस की तीलियाँ होंगी? अवश्य, हम आरेख खींच सकते हैं एवं गिन सकते हैं किंतु क्या यहाँ विद्यमान पैटर्न का उपयोग करके शीघ्रता से उत्तर देने की कोई विधि है?

उत्तर

हाँ — गिनिए कि कितनी बार 2 जोड़ा गया है। चरण 1 में 3 से आरंभ होता है और हर आगे के चरण में एक 2 और जुड़ता है।

चरण 33 = 3 + 2 × 32 = 3 + 64 = 67
चरण 84 = 3 + 2 × 83 = 3 + 166 = 169
चरण 108 = 3 + 2 × 107 = 3 + 214 = 217

संकेत: 108 त्रिभुज बनाने में पूरा पृष्ठ भर जाएगा। पैटर्न से उत्तर एक ही पंक्ति में मिल जाता है।

प्र4.

33 त्रिभुज (चरण संख्या 33) बनाने के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या _______ है। इसी प्रकार चरण संख्या 84 एवं चरण संख्या 108 के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।

उत्तर

चरण 33 के लिए 67 तीलियाँ चाहिए।

चरण	कितनी बार 2 जुड़ा	हल	तीलियाँ
33	32	3 + 2 + 2 + … (32 बार 2)	67
84	83	3 + 2 × 83	169
108	107	3 + 2 × 107	217

ऐसा क्यों होता है: चरण 2 में एक बार 2 जुड़ा, चरण 3 में दो बार, चरण 4 में तीन बार। अतः चरण y में आरंभिक 3 के साथ (y – 1) बार 2 जुड़ता है।

प्र5.

किसी भी चरण में माचिस की तीलियों की संख्या ज्ञात करने के लिए नियम या सूत्र का वर्णन करने के लिए कौन-सा व्यंजक हो सकता है? चरण संख्या y के लिए व्यंजक क्या है?

उत्तर

चरण y में एक 3 है एवं (y – 1) बार 2।

चरण y में तीलियों की संख्या = 3 + 2 × (y – 1)

यह ध्यान देने पर कि पहले चरण में भी 2 सम्मिलित है (क्योंकि 3 = 1 + 2), एक दूसरा रूप मिलता है —

2y + 1

प्र6.

क्या उपरोक्त व्यंजक किसी भी चरण में माचिस की तीलियों की संख्या बताता है? क्या ये दोनों व्यंजक समान हैं?

उत्तर

दोनों का उत्तर हाँ है। पहले व्यंजक को सरल करने पर वह दूसरा बन जाता है।

3 + 2 × (y – 1) = 3 + 2y – 2
= 2y + (3 – 2)
= 2y + 1

y	3 + 2(y – 1)	2y + 1
1	3	3
5	11	11
33	67	67

ऐसा क्यों होता है: एक ही चित्र को दो व्यक्ति अलग-अलग ढंग से गिन सकते हैं और दोनों सही हो सकते हैं। उनके व्यंजक अलग दिखते हैं किंतु सरल होकर एक ही रूप बन जाते हैं।

प्र7.

माचिस की तीलियों को दो अभिविन्यासों में रखा गया है — (a) ऊपर एवं नीचे क्षैतिज रूप से एवं (b) मध्य में विकर्ण रूप से। उदाहरण के लिए, चरण संख्या 2 में माचिस की 2 तीलियाँ क्षैतिज रूप में एवं 3 तीलियाँ विकर्ण रूप से रखी गई हैं। चरण संख्या 3 एवं चरण संख्या 4 में ये संख्याएँ क्या हैं?

उत्तर

चरण	क्षैतिज	विकर्ण	कुल
1	1	2	3
2	2	3	5
3	3	4	7
4	4	5	9

चरण 3: 3 क्षैतिज एवं 4 विकर्ण (3 + 4 = 7 ✔)
चरण 4: 4 क्षैतिज एवं 5 विकर्ण (4 + 5 = 9 ✔)

प्र8.

चरणों के बढ़ने के साथ प्रत्येक अभिविन्यास में माचिस की तीलियों की संख्या कैसे बदलती है? प्रत्येक अभिविन्यास में चरण संख्या y पर माचिस की तीलियों की संख्या के लिए व्यंजक लिखिए। क्या दोनों व्यंजकों का योगफल 2y + 1 आता है?

उत्तर

क्षैतिज तीलियाँ 1, 2, 3, 4, … के क्रम में और विकर्ण तीलियाँ 2, 3, 4, 5, … के क्रम में बढ़ती हैं। दोनों प्रति चरण ठीक 1 बढ़ती हैं।

चरण y पर क्षैतिज = y
चरण y पर विकर्ण = y + 1

योगफल = y + (y + 1) = 2y + 1 ✔

ऐसा क्यों होता है: हर नया त्रिभुज एक क्षैतिज एवं एक तिरछी तीली जोड़ता है — यही ‘हर बार 2 अधिक’ है। एक अतिरिक्त विकर्ण तीली पहले त्रिभुज से आती है, जिसकी दो भुजाएँ तिरछी हैं।

स्वयं जाँचिए: चरण 6 → 6 क्षैतिज + 7 विकर्ण = 13, और 2 × 6 + 1 = 13 ✔

क्या यह उपयोगी रहा? त्रुटि बताएँ