गणित प्रकाश अध्याय 5 गतिविधि 4 और 5

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

गतिविधि 4: चित्र 5.19 में समांतर रेखाएँ l व m हैं (चित्र में समांतर रेखाएँ चिह्नित करने के लिए किस संकेतन का उपयोग किया गया है?)। रेखा t इन दोनों रेखाओं की तिर्यक रेखा है।

उत्तर

संकेतन है एक जैसे तीर के चिह्नों का युग्म (>) — एक रेखा l पर और एक रेखा m पर।

ऐसा क्यों होता है: चित्र को अनंत तक बढ़ाया नहीं जा सकता, अतः यह देखा नहीं जा सकता कि दो रेखाएँ कभी नहीं मिलतीं। तीर के चिह्न चित्र बनाने वाले का यह आश्वासन हैं कि वे रेखाएँ समांतर हैं।

संकेत: यदि चित्र में समांतर रेखाओं का दूसरा समूह भी हो तो उसे दो तीर के चिह्नों (>>) से, तीसरे को तीन तीरों से दर्शाया जाता है। लम्ब रेखाओं के लिए तीर नहीं, बल्कि छोटा वर्ग चिह्न लगाया जाता है।

प्र2.

एक अनुरेखण कागज (ट्रेसिंग पेपर) लेकर उस पर ∠a को अनुरेख (ट्रेस) कीजिए। अब इस अनुरेखण कागज को ∠b पर रखिए एवं देखिए कि क्या कोण पूर्णतः संपाती हैं। चित्र में अन्य संगत कोणों की चाँदे की सहायता से जाँच कीजिए। क्या सभी संगत कोण एक-दूसरे के समान हैं?

उत्तर

हाँ। ∠a का अनुरेख ठीक ∠b पर बैठ जाता है, और शेष तीनों संगत युग्म भी समान निकलते हैं।

संगत युग्म	आप क्या पाते हैं
∠a और ∠b	समान
दोनों प्रतिच्छेदों के शेष तीन युग्म	भी समान

l ∥ m तथा t एक तिर्यक रेखा है
⟹ संगत कोणों का हर युग्म समान होता है

ऐसा क्यों होता है: अनुरेखण कागज को तिर्यक रेखा के सहारे पहले प्रतिच्छेद से दूसरे तक सीधे खिसकाना एक स्थानांतरण है। चूँकि l और m एक ही दिशा में हैं, पूरा पहला प्रतिच्छेद ठीक दूसरे पर बैठ जाता है — अतः हर कोण अपने संगत साथी पर ही गिरता है।

स्वयं जाँचिए: एक बार कोई एक संगत युग्म समान सिद्ध हो जाए तो शेष तीन रैखिक युग्म और शीर्षाभिमुख कोणों से स्वतः निकल आते हैं।

प्र3.

गतिविधि 5: चित्र 5.20 में रेखाओं l व m की तिर्यक रेखा इस प्रकार खींचिए कि संगत कोणों का एक युग्म समान हो। आप कोणों को एक चाँदे द्वारा माप सकते हैं। क्या आपको ऐसी तिर्यक रेखा खींचने में कठिनाई आ रही है जिससे संगत कोण समान हों?

उत्तर

हाँ — और यह असंभव है, क्योंकि चित्र 5.20 की रेखाएँ l और m समांतर नहीं हैं।

कोई भी तिर्यक रेखा खींचकर देखिए
संगत कोण सदैव भिन्न ही आते हैं
यह अंतर हर तिर्यक रेखा के लिए एक-सा रहता है
= वह कोण जिस पर l और m मिलेंगी

ऐसा क्यों होता है: संगत कोण समान होने का अर्थ होता कि l और m का झुकाव एक जैसा है, अर्थात वे समांतर हैं। चूँकि वे समांतर नहीं हैं, कोई भी तिर्यक रेखा किसी संगत युग्म को समान नहीं बना सकती।

क्या आप जानते हैं? इससे नियम उल्टी दिशा में भी मिलता है: जब एक रेखा-युग्म की रेखाएँ समांतर नहीं होतीं तो तिर्यक रेखा द्वारा बने संगत कोण कभी समान नहीं हो सकते। अतः संगत कोणों की समानता समांतरता के लिए आवश्यक भी है और पर्याप्त भी।

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