क्या यह संभव है कि सभी 8 कोणों के माप भिन्न हों? यदि हाँ, तो क्यों? यदि नहीं, तो क्यों नहीं?
उत्तर
नहीं, यह संभव नहीं है। आठ कोणों में अधिक से अधिक चार भिन्न माप हो सकते हैं।
रेखा l पर: ∠1 = ∠3 तथा ∠2 = ∠4 (शीर्षाभिमुख) रेखा m पर: ∠5 = ∠7 तथा ∠6 = ∠8 (शीर्षाभिमुख) 8 कोण → 4 समान युग्मों में बँट जाते हैं अतः अधिक से अधिक 4 भिन्न माप
तिर्यक रेखा t रेखाओं l और m को काटती है और आठ कोण बनाती है। पहले प्रतिच्छेद पर ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 तथा दूसरे पर ∠5, ∠6, ∠7, ∠8।
ऐसा क्यों होता है: हर प्रतिच्छेद पर चारों कोण स्वतंत्र नहीं हैं — आमने-सामने के कोण समान होने ही चाहिए और पड़ोसी कोणों का योग 180° होना ही चाहिए। अतः एक प्रतिच्छेद केवल दो भिन्न माप दे सकता है और दो प्रतिच्छेद मिलकर अधिक से अधिक 2 + 2 = 4।
क्या आप जानते हैं? यदि रेखाएँ l और m समांतर हों तो ये चार माप भी घटकर दो रह जाते हैं — एक न्यून और एक अधिक कोण, जिनका योग 180° होता है।
प्र2.
5 भिन्न कोणों 6, 5, 4, 3 और 2 के विषय में आपके क्या विचार हैं?
उत्तर
पाँच भिन्न माप भी संभव नहीं हैं। इसी प्रकार तीन या छह भी नहीं।
भिन्न मापों की संभव संख्याएँ = 1, 2 या 4 4 → साधारण स्थिति (l और m समांतर नहीं) 2 → l ∥ m, तिर्यक रेखा तिरछी 1 → t दोनों पर लम्ब (सभी आठ कोण 90°)
पाँच भिन्न माप पाने के लिए किसी एक प्रतिच्छेद पर तीन भिन्न कोण चाहिए — जो असंभव है, क्योंकि ∠2 = ∠4 और ∠1 = ∠3 सदैव होते हैं।
ऐसा क्यों होता है: कोण जोड़ों में बँधे होते हैं। एक प्रतिच्छेद पर एक कोण तय करते ही बाकी तीन तय हो जाते हैं — एक उसके बराबर और दो उसके संपूरक। इसीलिए भिन्न मापों की संख्या केवल 1, 2 या 4 हो सकती है।
प्र3.
चित्र 5.14 में क्योंकि ∠1 और ∠3 शीर्षाभिमुख कोण हैं, अतः वे समान माप के हैं। क्या शीर्षाभिमुख कोणों के अन्य युग्म भी हैं?
उत्तर
हाँ — कुल चार युग्म, प्रत्येक प्रतिच्छेद पर दो।
प्रतिच्छेद
शीर्षाभिमुख युग्म
संबंध
t और रेखा l
∠1 और ∠3
समान
t और रेखा l
∠2 और ∠4
समान
t और रेखा m
∠5 और ∠7
समान
t और रेखा m
∠6 और ∠8
समान
ऐसा क्यों होता है: दो रेखाओं का हर प्रतिच्छेद अपने आप में एक पूरा छोटा चित्र है, और ऐसे हर चित्र में आमने-सामने के ठीक दो युग्म होते हैं। अतः दो प्रतिच्छेदों से 2 × 2 = 4 युग्म मिलते हैं।
संकेत: इन्हें संगत कोणों — ∠1 और ∠5, ∠2 और ∠6, ∠3 और ∠7, ∠4 और ∠8 — से मत उलझाइए, जो दो अलग प्रतिच्छेदों पर एक ही स्थिति में होते हैं।
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