प्र1.
उन जादुई वर्गों में से किसी एक वर्ग का चयन कीजिए जिन्हें आपने क्रमागत संख्याओं का उपयोग करके बनाया है। यदि केंद्र पर स्थित संख्या की अक्षर संख्या m है तो व्यक्त कीजिए कि अन्य संख्याएँ किस प्रकार m से संबंधित हैं, अर्थात वे m से कितनी अधिक या कम हैं। (संकेत — स्मरण कीजिए कि हमने बीजीय व्यंजकों के अध्याय में किस प्रकार एक तिथि पत्र (कैलेंडर) मास में 2 × 2 ग्रिड की व्याख्या की थी।)
उत्तर
जादुई वर्ग 8 1 6 / 3 5 7 / 4 9 2 लीजिए। इसका केंद्र 5 है, अत: प्रत्येक संख्या को “5 और कुछ” के रूप में लिखिए।
8 = 5 + 3 • 1 = 5 – 4 • 6 = 5 + 1
3 = 5 – 2 • 5 = 5 • 7 = 5 + 2
4 = 5 – 1 • 9 = 5 + 4 • 2 = 5 – 3
3 = 5 – 2 • 5 = 5 • 7 = 5 + 2
4 = 5 – 1 • 9 = 5 + 4 • 2 = 5 – 3
अब 5 के स्थान पर अक्षर संख्या m रखने पर व्यापकीकृत रूप प्राप्त होता है —
| m + 3 | m – 4 | m + 1 |
| m – 2 | m | m + 2 |
| m – 1 | m + 4 | m – 3 |
पंक्ति 1: (m + 3) + (m – 4) + (m + 1) = 3m
पंक्ति 2: (m – 2) + m + (m + 2) = 3m
पंक्ति 3: (m – 1) + (m + 4) + (m – 3) = 3m
स्तंभ 1: (m + 3) + (m – 2) + (m – 1) = 3m
विकर्ण: (m + 3) + m + (m – 3) = 3m ✓
पंक्ति 2: (m – 2) + m + (m + 2) = 3m
पंक्ति 3: (m – 1) + (m + 4) + (m – 3) = 3m
स्तंभ 1: (m + 3) + (m – 2) + (m – 1) = 3m
विकर्ण: (m + 3) + m + (m – 3) = 3m ✓
ऐसा क्यों होता है: m – 4, m – 3, …, m + 4 वस्तुत: m को मध्य में रखकर नौ क्रमागत संख्याएँ हैं। प्रत्येक रेखा में m के दोनों ओर की संख्याएँ एक-दूसरे को काट देती हैं — एक जितनी m से अधिक है, दूसरी उतनी ही कम।