गणित प्रकाश अध्याय 6 पता लगाइए

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

इस व्यापकीकृत रूप के उपयोग से वह जादुई वर्ग ज्ञात कीजिए जब केंद्रीय संख्या 25 है।

उत्तर

व्यापकीकृत रूप में m = 25 रखिए।

व्यापकीकृत रूप	m + 3	m – 4	m + 1
मान	28	21	26
व्यापकीकृत रूप	m – 2	m	m + 2
मान	23	25	27
व्यापकीकृत रूप	m – 1	m + 4	m – 3
मान	24	29	22

जादुई वर्ग है —

28	21	26
23	25	27
24	29	22

जादुई योग = 3m = 3 × 25 = 75
पंक्तियाँ: 28 + 21 + 26 = 75, 23 + 25 + 27 = 75, 24 + 29 + 22 = 75 ✓
स्तंभ: 28 + 23 + 24 = 75, 21 + 25 + 29 = 75, 26 + 27 + 22 = 75 ✓
विकर्ण: 28 + 25 + 22 = 75, 26 + 25 + 24 = 75 ✓

स्वयं जाँचिए: नौ संख्याएँ 21 से 29 तक हैं — 25 को मध्य में रखकर नौ क्रमागत संख्याएँ, जैसा अपेक्षित था।

प्र2.

किसी पंक्ति, स्तंभ या विकर्ण के तीन पदों को जोड़ने पर कौन-सा व्यंजक प्राप्त होता है?

उत्तर

प्राप्त व्यंजक 3m है।

पंक्ति 1: (m + 3) + (m – 4) + (m + 1) = 3m + 3 – 4 + 1 = 3m
पंक्ति 2: (m – 2) + m + (m + 2) = 3m – 2 + 2 = 3m
स्तंभ 2: (m – 4) + m + (m + 4) = 3m – 4 + 4 = 3m
विकर्ण: (m + 1) + m + (m – 1) = 3m

ऐसा क्यों होता है: प्रत्येक रेखा में तीन m होते हैं और जोड़ी-घटाई गई संख्याएँ सदैव कट जाती हैं। यही कारण है कि वर्ग जादुई है — और इससे यह भी सिद्ध होता है कि जादुई योग सदैव केंद्र संख्या का तीन गुना होता है।

प्र3.

निम्नलिखित स्थितियों के परिणाम लिखिए — (a) व्यापकीकृत रूप के प्रत्येक पद में 1 जोड़ने पर। (b) व्यापकीकृत रूप के प्रत्येक पद को दुगुना करने पर।

उत्तर

(a) प्रत्येक पद में 1 जोड़ने पर

m + 4	m – 3	m + 2
m – 1	m + 1	m + 3
m	m + 5	m – 2

रेखा का योग = (m + 4) + (m – 3) + (m + 2) = 3m + 3
अत: जादुई योग 3 बढ़ जाता है तथा नया केंद्र m + 1 हो जाता है।

(b) प्रत्येक पद को दुगुना करने पर

2m + 6	2m – 8	2m + 2
2m – 4	2m	2m + 4
2m – 2	2m + 8	2m – 6

रेखा का योग = (2m + 6) + (2m – 8) + (2m + 2) = 6m
अत: जादुई योग दुगुना हो जाता है तथा नया केंद्र 2m हो जाता है।

ऐसा क्यों होता है: दोनों ग्रिड जादुई बने रहते हैं क्योंकि प्रत्येक खाने को एक ही प्रकार से बदला गया है। ध्यान दीजिए कि दुगुना करने के बाद संख्याएँ क्रमागत नहीं रहतीं — वे 2 के पगों में बढ़ती हैं।

प्र4.

एक जादुई वर्ग की रचना कीजिए जिसका जादुई योग 60 हो।

उत्तर

जादुई योग = 3m, अत: m = 20 लीजिए।

3m = 60
m = 60 ÷ 3 = 20

23	16	21
18	20	22
19	24	17

पंक्तियाँ: 23 + 16 + 21 = 60, 18 + 20 + 22 = 60, 19 + 24 + 17 = 60 ✓
स्तंभ: 23 + 18 + 19 = 60, 16 + 20 + 24 = 60, 21 + 22 + 17 = 60 ✓
विकर्ण: 23 + 20 + 17 = 60, 21 + 20 + 19 = 60 ✓

संकेत: 3 से विभाज्य किसी भी जादुई योग S के लिए m = S ÷ 3 लीजिए और व्यापकीकृत रूप भर दीजिए।

प्र5.

क्या 9 अक्रमागत संख्याओं को भरकर एक जादुई वर्ग प्राप्त करना संभव है?

उत्तर

हाँ, यह संभव है। किसी ज्ञात जादुई वर्ग के प्रत्येक खाने को एक ही संख्या से गुणा कर दीजिए।

8 1 6 / 3 5 7 / 4 9 2 को 3 से गुणा करने पर 3 के नौ गुणज प्राप्त होते हैं, जो निश्चित रूप से क्रमागत नहीं हैं —

24	3	18
9	15	21
12	27	6

पंक्तियाँ: 24 + 3 + 18 = 45, 9 + 15 + 21 = 45, 12 + 27 + 6 = 45 ✓
स्तंभ: 24 + 9 + 12 = 45, 3 + 15 + 27 = 45, 18 + 21 + 6 = 45 ✓
विकर्ण: 24 + 15 + 6 = 45, 18 + 15 + 12 = 45 ✓
जादुई योग = 15 × 3 = 45

ऐसा क्यों होता है: जादुई वर्ग को वस्तुत: क्रमागत संख्याओं की नहीं, केंद्र से अंतरों के प्रतिरूप की आवश्यकता होती है। यहाँ प्रत्येक अंतर तिगुना हो गया है — केंद्र 3 × 5 = 15 है और संख्याएँ 15 ± 3, 15 ± 6, 15 ± 9, 15 ± 12 हैं।

प्रयास कीजिए: किसी भी पग d के लिए m – 4d, m – 3d, …, m + 4d रूप की नौ संख्याएँ काम करती हैं। m = 20 और d = 5 लेने पर 35 0 25 / 10 20 30 / 15 40 5 प्राप्त होता है, जिसका जादुई योग 60 है।

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