गणित प्रकाश अध्याय 6 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
यदि हाँ, तो 15 प्राप्त करने के लिए दो अन्य संख्याओं के साथ 1 जोड़ने की तीन विधियाँ होनी चाहिए। हम 1 + 5 + 9 = 1 + 6 + 8 = 15 प्राप्त करते हैं। क्या कोई अन्य संयोजन संभव है?
उत्तर

नहीं, तीसरा संयोजन संभव नहीं है। 14 बनाने वाले केवल दो युग्म हैं।

1 + ? + ? = 15  →  शेष दो का योग 14 होना चाहिए
14 = 5 + 9  ✓
14 = 6 + 8  ✓
14 = 7 + 7  ✗ (संख्या दोहराई नहीं जा सकती)
अत: 1 से होकर केवल दो रेखाएँ संभव हैं।

कोने का खाना तीन रेखाओं पर होता है — एक पंक्ति, एक स्तंभ और एक विकर्ण — अत: उसे तीन ऐसे संयोजन चाहिए। 1 के पास केवल दो हैं, अत: 1 किसी कोने में नहीं आ सकता

ऐसा क्यों होता है: कोना एक व्यस्त खाना है। उसे तीन बार दो अन्य संख्याओं के साथ मिलकर 15 बनाना पड़ता है। 1 जैसी छोटी संख्या को बहुत बड़े साथी चाहिए और इतनी बड़ी संख्याएँ ही नहीं हैं
प्र2.
इसी प्रकार क्या 9 को किसी कोने के वर्ग में रखा जा सकता है?
उत्तर

नहीं। वही गिनती इसे भी असंभव बना देती है।

9 + ? + ? = 15  →  शेष दो का योग 6 होना चाहिए
6 = 1 + 5  ✓
6 = 2 + 4  ✓
6 = 3 + 3  ✗ (पुनरावृत्ति नहीं)
अत: 9 से होकर केवल दो रेखाएँ संभव हैं, जबकि कोने को तीन चाहिए।

प्रेक्षण 3 — संख्याएँ 1 और 9 किसी कोने के स्थान पर विद्यमान नहीं हो सकती हैं, अत: इन्हें मध्य-स्थानों में से किसी स्थान पर आना चाहिए।

ऐसा क्यों होता है: 9 इतनी बड़ी है कि उसके दोनों साथी बहुत छोटे होने चाहिए, और ऐसे छोटे युग्म केवल दो ही उपलब्ध हैं।
प्र3.
क्या आप 1 और 9 के लिए अन्य संभव स्थान ज्ञात कर सकते हैं?
उत्तर

1 और 9 को भुजाओं के मध्य खानों में आना चाहिए, तथा वे एक-दूसरे के आमने-सामने होंगे, जिनके बीच में 5 होगा।

1 + 5 + 9 = 15, तथा 5 केंद्र पर है।
अत: 1 और 9 केंद्र से जाने वाली एक ही रेखा के दोनों सिरों पर हैं।
कोना संभव नहीं है, अत: वह रेखा बीच वाली पंक्ति या बीच वाला स्तंभ है।

चार संभावनाएँ हैं —

  • 1 बाईं भुजा के मध्य में, 9 दाईं भुजा के मध्य में
  • 9 बाईं भुजा के मध्य में, 1 दाईं भुजा के मध्य में
  • 1 ऊपरी भुजा के मध्य में, 9 निचली भुजा के मध्य में
  • 9 ऊपरी भुजा के मध्य में, 1 निचली भुजा के मध्य में
ऐसा क्यों होता है: केंद्र पर 5 निश्चित हो जाने और 1 तथा 9 के कोनों से हट जाने के बाद उनके लिए केवल चार मध्य-खाने बचते हैं — और 1, 5, 9 एक सीध में आएँगे क्योंकि 1 + 5 + 9 = 15
प्र4.
अब हमारे पास जादुई वर्ग के लिए एक पूर्ण पंक्ति या एक पूर्ण स्तंभ है! इसे पूरा करने का प्रयास कीजिए! (संकेत — सर्वप्रथम 1 और 9 वाली पंक्ति को भरिए।)
उत्तर

बीच वाली पंक्ति में 1, 5, 9 रखकर आरंभ कीजिए और फिर ग्रिड पूरा कीजिए।

स्तंभ 1स्तंभ 2स्तंभ 3योग
पंक्ति 183415
पंक्ति 215915
पंक्ति 367215
योग151515
विकर्ण: 8 + 5 + 2 = 15  ✓  तथा  4 + 5 + 6 = 15  ✓
स्तंभ 1: 1 के साथ ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 14 हो → 8 और 6
स्तंभ 3: 9 के साथ ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 6 हो → 4 और 2
स्तंभ 2: 3 + 5 + 7 = 15  ✓

इस ग्रिड को घुमाकर और पलटकर वही परिचित रूप प्राप्त होता है —

816
357
492
स्वयं जाँचिए: पंक्तियाँ 15, 15, 15; स्तंभ 15, 15, 15; विकर्ण 8 + 5 + 2 = 15 तथा 6 + 5 + 4 = 15।
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