गणित प्रकाश अध्याय 6 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

लघु शब्दांशों (1 ताल) और गुरु शब्दांशों (2 ताल) को सम्मिलित करते हुए 8 तालों की कितनी लय बनाई जा सकती हैं? यहाँ कुछ संभावनाएँ दी गई हैं — गुरु गुरु गुरु गुरु / लघु लघु लघु लघु लघु लघु लघु लघु / लघु गुरु गुरु लघु गुरु / गुरु गुरु लघु लघु गुरु। क्या आप अन्य संभावनाएँ भी ज्ञात कर सकते हैं?

उत्तर

हाँ, और भी अनेक। लघु शब्दांश 1 ताल लेता है तथा गुरु शब्दांश 2 ताल, अत: प्रत्येक लय 1 और 2 के योग से 8 बनाने की एक विधि है।

लय	योग के रूप में
लघु लघु गुरु गुरु गुरु	1 + 1 + 2 + 2 + 2
गुरु लघु गुरु लघु गुरु	2 + 1 + 2 + 1 + 2
गुरु गुरु गुरु लघु लघु	2 + 2 + 2 + 1 + 1
लघु गुरु लघु गुरु गुरु	1 + 2 + 1 + 2 + 2
गुरु लघु लघु लघु गुरु गुरु	2 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2
लघु लघु लघु लघु गुरु गुरु	1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2

कुल मिलाकर 8 तालों वाली 34 लय हैं।

संकेत: एक-एक करके गिनना धीमा है और भूल होने की संभावना अधिक है। पुस्तक में दी गई क्रमबद्ध विधि बिना सूची बनाए ही उत्तर दे देती है।

प्र2.

अधिक गणितीय रूपों में लिखने पर — 1 और 2 के योग के रूप में संख्या 8 को कितनी विधियों से लिखा जा सकता है? उदाहरण के लिए — 8 = 2 + 2 + 2 + 2, 8 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1, 8 = 1 + 2 + 2 + 1 + 2, 8 = 2 + 2 + 1 + 1 + 2, इत्यादि। क्या आप कोई अन्य विधियाँ सोच पा रहे हैं?

उत्तर

34 विधियाँ हैं। सभी को लिखने के स्थान पर चरण-दर-चरण बढ़िए।

n	1	2	3	4	5	6	7	8
विधियों की संख्या	1	2	3	5	8	13	21	34

विधियाँ(3) = विधियाँ(2) + विधियाँ(1) = 2 + 1 = 3
विधियाँ(4) = 3 + 2 = 5
विधियाँ(5) = 5 + 3 = 8
विधियाँ(6) = 8 + 5 = 13
विधियाँ(7) = 13 + 8 = 21
विधियाँ(8) = 21 + 13 = 34

8 के लिए कुछ और विधियाँ — 1 + 1 + 2 + 2 + 2, 2 + 1 + 2 + 1 + 2, 2 + 2 + 1 + 2 + 1, 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 2, 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2।

ऐसा क्यों होता है: 8 के प्रत्येक योग का आरंभ या तो 1 से होगा या 2 से। यदि 1 से आरंभ हो तो शेष से 7 बनना चाहिए; यदि 2 से आरंभ हो तो शेष से 6। अत: 8 की गिनती 7 की गिनती और 6 की गिनती का योग है।

प्र3.

अपनी अभ्यास पुस्तिका में संख्या 5 को सभी संभावित विधियों से 1 और 2 के योग के रूप में लिखने का प्रयास कीजिए। आपने कितनी विधियाँ ज्ञात की हैं? (आपको 8 विभिन्न विधियाँ प्राप्त होनी चाहिए)। क्या आप सभी संभावनाओं को लिखे बिना इन्हें ज्ञात कर सकते हैं? क्या आप n = 8 के लिए इसका प्रयास कर सकते हैं?

उत्तर

n = 5 के लिए ठीक 8 विधियाँ हैं —

1 + 1 + 1 + 1 + 1	1 + 1 + 1 + 2	1 + 1 + 2 + 1	1 + 2 + 1 + 1
1 + 2 + 2	2 + 1 + 1 + 1	2 + 1 + 2	2 + 2 + 1

बिना सूची बनाए: 4 तालों वाली प्रत्येक लय (5 लय) के आगे “1 +” लिखिए तथा 3 तालों वाली प्रत्येक लय (3 लय) के आगे “2 +” लिखिए।

विधियाँ(5) = विधियाँ(4) + विधियाँ(3) = 5 + 3 = 8
विधियाँ(8) = विधियाँ(7) + विधियाँ(6) = 21 + 13 = 34

ऐसा क्यों होता है: पहला शब्दांश या तो लघु (1 ताल) होगा या गुरु (2 ताल)। ये दोनों स्थितियाँ कभी नहीं मिलतीं और मिलकर सब कुछ ढक लेती हैं, अत: गिनतियाँ सीधे जुड़ जाती हैं। इसी से विरहांक अनुक्रम 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, … बनता है।

प्र4.

क्रमबद्ध विधि का उपयोग करते हुए सभी 6 ताल लयों को लिखिए। अर्थात 6 को 1 और 2 के योग के रूप में सभी संभावित विधियों से लिखिए। क्या आपको 13 विधियाँ प्राप्त हुईं?

उत्तर

हाँ — ठीक 13 विधियाँ। 5 तालों वाली आठों लयों के आगे “1 +” तथा 4 तालों वाली पाँचों लयों के आगे “2 +” लिखिए।

1 + से आरंभ (8 विधियाँ)	2 + से आरंभ (5 विधियाँ)
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1	2 + 1 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 2	2 + 1 + 1 + 2
1 + 1 + 1 + 2 + 1	2 + 1 + 2 + 1
1 + 1 + 2 + 1 + 1	2 + 2 + 1 + 1
1 + 1 + 2 + 2	2 + 2 + 2
1 + 2 + 1 + 1 + 1	—
1 + 2 + 1 + 2	—
1 + 2 + 2 + 1	—

8 + 5 = 13 ✓

स्वयं जाँचिए: किसी भी पंक्ति में तालों को जोड़िए — प्रत्येक योग 6 ही आता है।

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