गणित प्रकाश अध्याय 6 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

इस अनुक्रम में 55 के बाद आने वाली संख्या लिखिए।

उत्तर

अगली संख्या 89 है।

नियम: प्रत्येक संख्या = उससे पहले की दो संख्याओं का योग।
1 + 2 = 3 • 2 + 3 = 5 • 3 + 5 = 8 • 5 + 8 = 13
8 + 13 = 21 • 13 + 21 = 34 • 21 + 34 = 55
34 + 55 = 89

स्वयं जाँचिए: यह नियम पहले से लिखी प्रत्येक संख्या पर सत्य है, इसीलिए अगली संख्या के लिए भी इस पर भरोसा किया जा सकता है।

प्र2.

इस अनुक्रम में अगली तीन संख्याएँ लिखिए — 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ____, ____, ____, … यदि आपको उपरोक्त अनुक्रम की एक और संख्या लिखनी हो तो क्या आप बता सकते हैं कि (पिछली दो संख्याओं को जोड़े बिना) यह संख्या सम होगी या विषम?

उत्तर

अगली तीन संख्याएँ हैं — 144, 233, 377।

55 + 89 = 144
89 + 144 = 233
144 + 233 = 377

377 के बाद आने वाली संख्या सम होगी, और यह जोड़े बिना बताया जा सकता है।

अब तक की समानताएँ: 1(वि), 2(स), 3(वि), 5(वि), 8(स), 13(वि), 21(वि), 34(स), 55(वि), 89(वि), 144(स), 233(वि), 377(वि)
अंतिम दो विषम हैं → विषम + विषम = सम

ऐसा क्यों होता है: समानताएँ विषम, विषम, सम के खंड में बार-बार दोहराई जाती हैं। दो विषम संख्याओं के बाद अगला पद सम होना ही चाहिए। (वास्तविक मान 233 + 377 = 610 है, जो वस्तुत: सम है।)

प्र3.

इस अनुक्रम में प्रत्येक संख्या की समानता क्या है? समानताओं के अनुक्रम में क्या आप कोई पैटर्न देख पा रहे हैं?

उत्तर

स्थान	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
संख्या	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233
समानता	वि	स	वि	वि	स	वि	वि	स	वि	वि	स	वि

पैटर्न है — विषम, सम, विषम, विषम, सम, विषम, विषम, सम, … अर्थात पहले पद के बाद विषम, विषम, सम का खंड सदैव दोहराता है।

विषम + सम = विषम
सम + विषम = विषम
विषम + विषम = सम … और चक्र पुन: आरंभ हो जाता है

अत: कोई पद सम ठीक तब होता है जब उसका स्थान 2, 5, 8, 11, 14, … हो (अर्थात 3 से भाग देने पर शेषफल 2 आए)।

ऐसा क्यों होता है: किसी पद की समानता केवल उससे पहले के दो पदों की समानताओं पर निर्भर करती है। समानताओं के युग्म गिने-चुने हैं, अत: पैटर्न को दोहराना ही पड़ता है — और यहाँ यह प्रत्येक तीन पदों पर दोहराता है।

प्र4.

आप निम्नलिखित फूलों में से प्रत्येक में कितनी पंखुड़ियाँ देख पा रहे हैं?

उत्तर

तीनों गुलबहार के चित्रों में पंखुड़ियाँ गिनने पर 13, 21 तथा 34 प्राप्त होते हैं।

फूल	गिनी गई पंखुड़ियाँ	क्या यह विरहांक संख्या है?
पहला गुलबहार	13	हाँ — छठा पद
दूसरा गुलबहार	21	हाँ — सातवाँ पद
तीसरा गुलबहार	34	हाँ — आठवाँ पद

और 13, 21, 34 अनुक्रम 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … में एक-दूसरे के ठीक बाद आने वाली तीन संख्याएँ हैं।

ऐसा क्यों होता है: पंखुड़ियाँ, सूरजमुखी के बीजों के सर्पिल तथा चीड़ के फल के सर्पिल इस प्रकार बढ़ते हैं कि स्थान का सर्वोत्तम उपयोग हो, और इस व्यवस्था में विरहांक-फिबोनाची संख्याएँ बार-बार प्रकट होती हैं।

क्या आप जानते हैं? अगली बार गेंदा, सूरजमुखी या अनानास देखिए और सर्पिल गिनिए — प्राय: 8, 13, 21 या 34 ही मिलेंगे।

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