गणित प्रकाश अध्याय 6 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

इन ग्रिड में छोटे वर्गों की संख्या की समानता ज्ञात कीजिए — (a) 27 × 13 (b) 42 × 78 (c) 135 × 654

उत्तर

	ग्रिड	दोनों भुजाओं की समानता	संख्या की समानता	वास्तविक गुणनफल
(a)	27 × 13	विषम, विषम	विषम	351
(b)	42 × 78	सम, सम	सम	3276
(c)	135 × 654	विषम, सम	सम	88290

ऐसा क्यों होता है: गुणनफल विषम केवल तभी होता है जब प्रत्येक गुणनखंड विषम हो। एक भी सम गुणनखंड 2 का गुणनखंड दे देता है और पूरा गुणनफल सम हो जाता है।

स्वयं जाँचिए: समानता बिना गुणा किए ज्ञात की गई है — गुणनफल केवल पुष्टि के लिए दिए गए हैं।

प्र2.

एक ऐसा व्यंजक लिखिए जिसकी समानता सदैव सम है। इसके कुछ उदाहरण हैं, जैसे — 100p और 48w – 2, इसी प्रकार के और अधिक व्यंजक ज्ञात करने का प्रयास कीजिए।

उत्तर

ऐसा कोई भी व्यंजक जिसका प्रत्येक पद 2 का गुणज हो, सदैव सम मान देता है।

2n • 6k • 10m • 4a + 8 • 12t – 6 • 100p • 48w – 2

एक की जाँच कीजिए —

4a + 8 → a = 1: 12, a = 2: 16, a = 3: 20 — सभी सम

ऐसा क्यों होता है: व्यंजक को 2 × (कुछ) के रूप में लिखिए। जैसे 4a + 8 = 2(2a + 4)। जिस संख्या में 2 गुणनखंड हो उसे सदैव युग्मों में व्यवस्थित किया जा सकता है, अत: वह सम है।

प्र3.

ऐसे व्यंजक लिखिए जिनकी समानता सदैव विषम है।

उत्तर

सदैव सम रहने वाले व्यंजक में 1 (या कोई विषम संख्या) जोड़ या घटा दीजिए।

2n + 1 • 2m – 1 • 4n + 3 • 6k + 5 • 8a + 3 • 10p – 7

एक की जाँच कीजिए —

6k + 5 → k = 1: 11, k = 2: 17, k = 3: 23 — सभी विषम

ऐसा क्यों होता है: 6k पूर्ण युग्मों का संग्रह है; उसमें 5 जोड़ने पर (5 स्वयं विषम है) एक बिंदु बिना साथी के रह जाता है। अत: मान कभी सम नहीं हो सकता।

प्र4.

3n + 4 जैसे कुछ अन्य व्यंजक लिखिए जिनकी समानता या तो विषम हो सकती है या फिर सम हो सकती है।

उत्तर

ऐसा पद लीजिए जिसका गुणांक विषम हो, जिससे n बदलने पर समानता भी बदलती रहे।

3n + 4 • 5n + 2 • 7n + 1 • 9n – 4 • n + 3

n	5n + 2	समानता
1	7	विषम
2	12	सम
3	17	विषम
4	22	सम

ऐसा क्यों होता है: 5n + 2 में 5n तब विषम होता है जब n विषम हो तथा तब सम होता है जब n सम हो। निश्चित सम संख्या 2 जोड़ने से यह नहीं बदलता, अत: उत्तर एकांतर रूप से विषम और सम होता रहता है।

प्र5.

व्यंजक 6k + 2 का मान 8, 14, 20, ... प्राप्त होता है (k = 1, 2, 3, ... के लिए)। इसमें अनेक सम संख्याएँ छूट गई हैं। क्या ऐसे व्यंजक हैं जिनके उपयोग से हम सभी सम संख्याओं की सूची बना सकते हैं? (संकेत — सभी सम संख्याओं का एक गुणनखंड 2 है।)

उत्तर

हाँ — वह व्यंजक 2n है।

n = 1, 2, 3, 4, 5, …
2n = 2, 4, 6, 8, 10, … — प्रत्येक सम संख्या आ जाती है, कोई नहीं छूटती।

6k + 2 से तुलना कीजिए —

व्यंजक	मान	क्या छूट जाता है
6k + 2	8, 14, 20, 26, …	2, 4, 6, 10, 12, 16, …
2n	2, 4, 6, 8, 10, …	कुछ नहीं

ऐसा क्यों होता है: 6k + 2 = 2(3k + 1) है, अत: इससे केवल वही सम संख्याएँ मिलती हैं जिनका आधा 3k + 1 के रूप का हो — यह 6 के पगों में बढ़ता है। 2n दो के पगों में बढ़ता है, अत: वह प्रत्येक सम संख्या को पकड़ लेता है।

प्र6.

क्या ऐसे व्यंजक हैं जिनके उपयोग से हम सभी विषम संख्याओं की सूची बना सकते हैं?

उत्तर

हाँ — 2n – 1 (जहाँ n = 1, 2, 3, …)।

n = 1 → 2(1) – 1 = 1
n = 2 → 2(2) – 1 = 3
n = 3 → 2(3) – 1 = 5
n = 4 → 2(4) – 1 = 7 … इत्यादि

व्यंजक 2n + 1 भी केवल विषम संख्याएँ देता है, परंतु n = 1 से आरंभ करने पर वह 3, 5, 7, … देता है और 1 छूट जाता है।

ऐसा क्यों होता है: प्रत्येक विषम संख्या किसी सम संख्या से एक कम होती है। 2n सभी सम संख्याएँ देता है, अत: 2n – 1 सभी विषम संख्याएँ देता है।

प्र7.

2 के गुणजों का nवाँ पद क्या होगा? अथवा nवीं सम संख्या क्या है?

उत्तर

nवीं सम संख्या 2n है।

पहली सम संख्या = 2 × 1 = 2
दूसरी सम संख्या = 2 × 2 = 4
पाँचवीं सम संख्या = 2 × 5 = 10
तेइसवीं सम संख्या = 2 × 23 = 46

ऐसा क्यों होता है: सम संख्याएँ ठीक 2 के गुणज हैं, और 2 का nवाँ गुणज 2 × n होता है।

प्र8.

100वीं विषम संख्या क्या है?

उत्तर

100वीं विषम संख्या 199 है।

100वीं सम संख्या = 2 × 100 = 200
प्रत्येक स्थान पर विषम संख्या, सम संख्या से एक कम होती है —
सम: 2, 4, 6, 8, 10, …
विषम: 1, 3, 5, 7, 9, …
100वीं विषम संख्या = 200 – 1 = 199

ऐसा क्यों होता है: दोनों अनुक्रम स्थान-दर-स्थान साथ चलते हैं और विषम अनुक्रम सदैव ठीक 1 पीछे रहता है — इसीलिए 2n तथा 2n – 1 nवीं सम और विषम संख्या देते हैं।

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