प्र1.
100वीं सम संख्या क्या है?
उत्तर
100वीं सम संख्या 200 है।
nवीं सम संख्या = 2n
100वीं सम संख्या = 2 × 100 = 200
100वीं सम संख्या = 2 × 100 = 200
संकेत: यह ज्ञात होते ही 100वीं विषम संख्या भी तुरंत मिल जाती है — 200 – 1 = 199।
गणित प्रकाश अध्याय 6 पाठ्य प्रश्न
अद्यतन2026-09-05
प्र2.
nवीं विषम संख्या ज्ञात करने के लिए एक सूत्र लिखिए।
उत्तर
nवीं विषम संख्या 2n – 1 है।
चरण 1: उस स्थान की सम संख्या ज्ञात कीजिए → 2n
चरण 2: उसमें से 1 घटाइए → 2n – 1
चरण 2: उसमें से 1 घटाइए → 2n – 1
| n | 2n | 2n – 1 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 |
| 2 | 4 | 3 |
| 7 | 14 | 13 |
| 50 | 100 | 99 |
ऐसा क्यों होता है: 2n सदैव सम है, अत: 2n – 1 सदैव विषम है, और n = 1, 2, 3, … रखने पर 1, 3, 5, 7, … क्रम से बिना किसी अंतराल के प्राप्त होते हैं।
प्र3.
क्या आप पता लगा पाए हैं कि घेरा लगी हुई संख्याएँ क्या निरूपित करती हैं?
उत्तर
हाँ — प्रत्येक पीले घेरे की संख्या उसके सामने वाली पंक्ति अथवा स्तंभ का योग है।
पुस्तक में दिए गए ग्रिड के लिए —
| स्तंभ 1 | स्तंभ 2 | स्तंभ 3 | पंक्ति योग | |
|---|---|---|---|---|
| पंक्ति 1 | 4 | 7 | 5 | 16 |
| पंक्ति 2 | 6 | 1 | 2 | 9 |
| पंक्ति 3 | 3 | 9 | 8 | 20 |
| स्तंभ योग | 13 | 17 | 15 | — |
4 + 7 + 5 = 16 • 6 + 1 + 2 = 9 • 3 + 9 + 8 = 20
4 + 6 + 3 = 13 • 7 + 1 + 9 = 17 • 5 + 2 + 8 = 15
4 + 6 + 3 = 13 • 7 + 1 + 9 = 17 • 5 + 2 + 8 = 15
स्वयं जाँचिए: 16 + 9 + 20 = 45 तथा 13 + 17 + 15 = 45 — दोनों 1 + 2 + … + 9 के बराबर हैं।
प्र4.
ऊपर बताए गए नियम के आधार पर नीचे दिए गए ग्रिड भरिए —
उत्तर
1 से 9 तक की संख्याओं का बिना पुनरावृत्ति के उपयोग कीजिए, जिससे प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ का योग घेरे की संख्या के बराबर हो।
पहला ग्रिड — पंक्ति योग 13, 14, 18 तथा स्तंभ योग 24, 9, 12; ऊपर बाएँ कोने में 9 और नीचे दाएँ कोने में 5 दिए हैं।
| स्तंभ 1 | स्तंभ 2 | स्तंभ 3 | पंक्ति योग | |
|---|---|---|---|---|
| पंक्ति 1 | 9 | 1 | 3 | 13 |
| पंक्ति 2 | 8 | 2 | 4 | 14 |
| पंक्ति 3 | 7 | 6 | 5 | 18 |
| स्तंभ योग | 24 | 9 | 12 | 45 |
यह इस प्रकार ज्ञात हुआ —
पंक्ति 1: 9 + ? + ? = 13 → शेष दो का योग 4 → वे 1 और 3 हैं
स्तंभ 1: 9 + ? + ? = 24 → शेष दो का योग 15 → वे 7 और 8 हैं
पंक्ति 3: ? + ? + 5 = 18 → पहले दो का योग 13 → अत: 7 पंक्ति 3 स्तंभ 1 में और 6 पंक्ति 3 स्तंभ 2 में
स्तंभ 2: 1 + ? + 6 = 9 → बीच का मान 2
पंक्ति 2: 8 + 2 + ? = 14 → अंतिम मान 4 ✓
स्तंभ 1: 9 + ? + ? = 24 → शेष दो का योग 15 → वे 7 और 8 हैं
पंक्ति 3: ? + ? + 5 = 18 → पहले दो का योग 13 → अत: 7 पंक्ति 3 स्तंभ 1 में और 6 पंक्ति 3 स्तंभ 2 में
स्तंभ 2: 1 + ? + 6 = 9 → बीच का मान 2
पंक्ति 2: 8 + 2 + ? = 14 → अंतिम मान 4 ✓
दूसरा ग्रिड — पंक्ति योग 24, 15, 6 तथा स्तंभ योग 12, 16, 17; बीच वाली पंक्ति के बाएँ खाने में 4 और अंतिम पंक्ति के दाएँ खाने में 3 दिए हैं।
| स्तंभ 1 | स्तंभ 2 | स्तंभ 3 | पंक्ति योग | |
|---|---|---|---|---|
| पंक्ति 1 | 7 | 8 | 9 | 24 |
| पंक्ति 2 | 4 | 6 | 5 | 15 |
| पंक्ति 3 | 1 | 2 | 3 | 6 |
| स्तंभ योग | 12 | 16 | 17 | 45 |
पंक्ति 1 का योग 24 है और तीन भिन्न संख्याओं का अधिकतम योग 9 + 8 + 7 = 24 है → पंक्ति 1 में 7, 8, 9 ही आएँगे
पंक्ति 3 का योग 6 है जो न्यूनतम संभव योग है और 3 पहले से है → शेष दो 1 और 2 हैं
स्तंभ 1: ? + 4 + ? = 12 → 7 + 4 + 1 = 12 ✓
स्तंभ 2: 8 + 6 + 2 = 16 ✓ स्तंभ 3: 9 + 5 + 3 = 17 ✓
पंक्ति 3 का योग 6 है जो न्यूनतम संभव योग है और 3 पहले से है → शेष दो 1 और 2 हैं
स्तंभ 1: ? + 4 + ? = 12 → 7 + 4 + 1 = 12 ✓
स्तंभ 2: 8 + 6 + 2 = 16 ✓ स्तंभ 3: 9 + 5 + 3 = 17 ✓
क्या आप जानते हैं? दूसरे ग्रिड का एक और हल भी है — 7, 9, 8 / 4, 5, 6 / 1, 2, 3 भी सभी घेरों से मेल खाता है। पहले ग्रिड का हल केवल एक ही है।
ऐसा क्यों होता है: तीनों पंक्ति योग जोड़ने पर सदैव 1 + 2 + … + 9 = 45 प्राप्त होता है और स्तंभ योग जोड़ने पर भी। पहले यही जाँच लीजिए (13 + 14 + 18 = 45, 24 + 9 + 12 = 45) — तब पता चल जाता है कि प्रश्न हल करने योग्य है।