गणित प्रकाश अध्याय 6 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

इसी प्रकार के कुछ प्रश्न स्वयं बनाइए तथा अपने सहपाठियों को चुनौती दीजिए।

उत्तर

किसी भरे हुए ग्रिड से आरंभ कीजिए और संख्याएँ छिपा दीजिए — केवल घेरे शेष रहने दीजिए।

यहाँ एक प्रश्न दिया जा रहा है —

	स्तंभ 1	स्तंभ 2	स्तंभ 3	पंक्ति योग
पंक्ति 1	2	9	4	15
पंक्ति 2	7	5	3	15
पंक्ति 3	6	1	8	15
स्तंभ योग	15	15	15	45

अपने मित्र को केवल छह घेरों की संख्याएँ 15, 15, 15 (पंक्तियाँ) तथा 15, 15, 15 (स्तंभ) और संकेत के लिए एक भरा हुआ खाना दीजिए।

अच्छा प्रश्न बनाने का संकेत: सदैव जाँच लीजिए कि आपके तीनों पंक्ति योग जोड़ने पर 45 और तीनों स्तंभ योग जोड़ने पर भी 45 आते हैं, तथा कोई भी घेरा 6 से कम या 24 से अधिक नहीं है। अन्यथा आपके प्रश्न का कोई हल ही नहीं होगा।

प्र2.

आपने अनुभव किया होगा कि इस ग्रिड के लिए एक हल ज्ञात करना संभव नहीं है। ऐसी स्थिति क्यों है?

उत्तर

क्योंकि घेरों में से दो संख्याएँ संभव परास से बाहर हैं।

1 – 9 में से तीन भिन्न संख्याओं का न्यूनतम योग = 1 + 2 + 3 = 6
1 – 9 में से तीन भिन्न संख्याओं का अधिकतम योग = 9 + 8 + 7 = 24
अत: प्रत्येक घेरे के लिए 6 ≤ घेरा ≤ 24।

इस ग्रिड में घेरे 5, 21, 19 (पंक्तियाँ) तथा 9, 11, 26 (स्तंभ) दिए हैं।

घेरा	संभव?	कारण
5	नहीं	न्यूनतम संभावित योग 6 से कम है
26	नहीं	अधिकतम संभावित योग 24 से अधिक है
21, 19, 9, 11	हाँ	6 और 24 के बीच हैं

अत: यह ग्रिड असंभव है।

ऐसा क्यों होता है: एक भी खाना भरने की आवश्यकता नहीं पड़ी। केवल घेरों के परास की जाँच से ही उत्तर मिल गया।

स्वयं जाँचिए: यहाँ पंक्ति योग 5 + 21 + 19 = 45 है, परंतु स्तंभ योग 9 + 11 + 26 = 46 है। स्तंभों का कुल 45 भी नहीं है — यह असंभवता का दूसरा कारण है।

प्र3.

पंक्तियों के योग अथवा स्तंभों के योग को जोड़ने पर योग सदैव 45 क्यों होना चाहिए?

उत्तर

क्योंकि तीनों पंक्ति योग जोड़ने का अर्थ है ग्रिड की प्रत्येक संख्या को ठीक एक बार जोड़ना।

पंक्ति योगों का कुल
= (पंक्ति 1 की सभी संख्याएँ) + (पंक्ति 2 की सभी) + (पंक्ति 3 की सभी)
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
= 45

यही तर्क स्तंभों के लिए भी है, क्योंकि तीनों स्तंभ मिलकर पूरे ग्रिड को एक बार ढक लेते हैं।

पहले हल किया गया ग्रिड	पंक्ति योग	कुल	स्तंभ योग	कुल
4 7 5 / 6 1 2 / 3 9 8	16, 9, 20	45	13, 17, 15	45
9 1 3 / 8 2 4 / 7 6 5	13, 14, 18	45	24, 9, 12	45
7 8 9 / 4 6 5 / 1 2 3	24, 15, 6	45	12, 16, 17	45

ऐसा क्यों होता है: पंक्तियाँ परस्पर नहीं मिलतीं और मिलकर नौ खाने पूरे कर देती हैं। अत: उनका कुल 1 + 2 + … + 9 = 45 पर स्थिर रहता है, चाहे व्यवस्था कोई भी हो। इसी से किशोर का प्रेक्षण भी सिद्ध होता है कि छहों घेरों का योग 45 + 45 = 90 है।

प्र4.

जादुई योग क्या हो सकता है? क्या यह कोई भी संख्या हो सकती है?

उत्तर

नहीं। 1 – 9 की संख्याओं से बने जादुई वर्ग का जादुई योग 15 ही होना चाहिए।

तीनों पंक्ति योगों का कुल सदैव 45 होता है।
जादुई वर्ग में तीनों पंक्ति योग बराबर होते हैं, माना प्रत्येक S।
S + S + S = 45
3S = 45
S = 15

प्रेक्षण 1 — 1 से 9 तक की संख्याओं के उपयोग से बनाए गए एक जादुई वर्ग में जादुई योग 15 होना चाहिए।

ऐसा क्यों होता है: जादुई योग हमारी इच्छा से नहीं चुना जा सकता — वह उपयोग की जाने वाली संख्याओं से निर्धारित होता है। 2 – 10 लेने पर कुल 54 हो जाता है, अत: जादुई योग 54 ÷ 3 = 18 हो जाता है।

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