एक ऐसे त्रिभुज की रचना कीजिए जिसमें उसकी भुजाओं की लंबाई 3 से.मी., 4 से.मी. और 8 से.मी. हो। क्या आप ऐसे एक त्रिभुज की रचना कर पा रहे हैं?
उत्तर
नहीं। दोनों चाप कभी मिलते ही नहीं, अत: तीसरा शीर्ष बनता ही नहीं।
आधार AB = 8 से.मी. खींचिए A से 3 से.मी. का चाप केवल 3 से.मी. तक पहुँचता है B से 4 से.मी. का चाप केवल 4 से.मी. पीछे तक आता है 3 + 4 = 7 से.मी., परंतु पाटनी है 8 से.मी. की दूरी 7 < 8 → दोनों चाप 1 से.मी. कम पड़ जाते हैं
8 से.मी. आधार पर 3 से.मी. एवं 4 से.मी. के चाप एक-दूसरे तक पहुँच ही नहीं पाते।
ऐसा क्यों होता है: दोनों छोटी भुजाओं को मिलकर आधार को पाटना पड़ता है। यहाँ उनका योग केवल 7 से.मी. है जबकि आधार 8 से.मी. का है, अत: उन्हें कितना भी झुकाइए, वे कभी नहीं मिलेंगी। 3 से.मी., 4 से.मी. और 8 से.मी. भुजाओं वाले त्रिभुज का अस्तित्व नहीं है।
प्र2.
यहाँ लंबाइयों का एक अन्य समूह भी है — 2 से.मी., 3 से.मी. और 6 से.मी.। जाँच कीजिए कि क्या इन लंबाइयों की भुजाओं से एक त्रिभुज बनाना संभव है।
उत्तर
संभव नहीं है। यहाँ भी वही बात है, बल्कि और अधिक।
सबसे बड़ी लंबाई = 6 से.मी. अन्य दो का योग = 2 + 3 = 5 से.मी. 5 < 6 → चाप 1 से.मी. कम पड़ते हैं त्रिभुज का अस्तित्व नहीं है
स्वयं जाँचिए: AB = 6 से.मी. खींचिए, फिर A से 2 से.मी. और B से 3 से.मी. का चाप लगाइए। दोनों के बीच स्पष्ट खाली जगह बची रह जाती है।
प्र3.
भुजाओं की लंबाइयों के कुछ अन्य समूह ज्ञात करने का प्रयास कीजिए जिनके लिए एक त्रिभुज की रचना असंभव है। देखिए कि क्या आप इनमें कोई पैटर्न ज्ञात कर सकते हैं?
उत्तर
यहाँ ऐसे पाँच असंभव समूह और उनके पीछे का पैटर्न दिया है।
लंबाइयों का समूह
सबसे बड़ी
अन्य दो का योग
त्रिभुज?
1, 2, 5
5
3
नहीं
2, 4, 9
9
6
नहीं
3, 5, 8
8
8
नहीं (चाप केवल स्पर्श करते हैं)
6, 7, 20
20
13
नहीं
1, 1, 3
3
2
नहीं
पैटर्न: त्रिभुज ठीक तब असंभव होता है जब
सबसे बड़ी लंबाई ≥ अन्य दो लंबाइयों का योग
ऐसा क्यों होता है: दोनों छोटी भुजाओं को सबसे बड़ी भुजा के दोनों सिरों से चलकर उसके ऊपर कहीं मिलना होता है। उनकी कुल लंबाई आधार से अधिक होनी चाहिए — बराबर होने पर वे आधार पर ही लेट जाती हैं और एक सरल रेखा बन जाती है, तथा कम होने पर वे मिल ही नहीं पातीं।
प्रयास करें: कोई भी दो लंबाइयाँ चुनिए और तीसरी को उनके योग से बड़ा रखिए, जैसे 7, 9 और 20 — आपका अपना असंभव समूह तैयार।
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