गणित प्रकाश अध्याय 7 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

क्या 4 से.मी., 5 से.मी. और 8 से.मी. की भुजाओं की लंबाइयों वाले एक त्रिभुज का अस्तित्व है? ये त्रिभुज असमिका को संतुष्ट करती हैं — 8 < 4 + 5 = 9. हमें अन्य दो भुजाओं की जाँच करने की आवश्यकता क्यों नहीं है?

उत्तर

क्योंकि शेष दो तुलनाएँ लंबाइयों के क्रम से ही सुनिश्चित हो जाती हैं।

4 < 5 + 8 = 13 ✓ (4 तो अकेले 8 से भी छोटी है)
5 < 4 + 8 = 12 ✓ (5 तो अकेले 8 से भी छोटी है)
8 < 4 + 5 = 9 ✓ — केवल यही तुलना विफल हो सकती थी

ऐसा क्यों होता है: दोनों छोटी लंबाइयाँ अकेली सबसे बड़ी लंबाई से पहले ही कम हैं; उसमें एक और धनात्मक लंबाई जोड़ने पर अंतर और बढ़ ही जाता है। अत: सबसे बड़ी लंबाई की जाँच से पूरा प्रश्न हल हो जाता है।

प्र2.

अब मान लीजिए कि B को केंद्र लेकर त्रिज्या 5 से.मी. के एक वृत्त की रचना की जाती है। क्या आप इस परिणामी चित्र का एक रफ आरेख बना सकते हैं?

उत्तर

AB = 8 से.मी. को आधार लीजिए। A पर केंद्रित 4 से.मी. का वृत्त तथा B पर केंद्रित 5 से.मी. का वृत्त खींचिए — वे एक लेंस जैसे क्षेत्र में एक-दूसरे को ढक लेते हैं।

AB = 8 से.मी., AX = 4 से.मी. अत: BX = 4 से.मी., जो वृत्त B की 5 से.मी. त्रिज्या से कम है।

संकेत: पहले आधार खींचिए और X अंकित कीजिए जहाँ वृत्त A, AB को काटता है। तब एक नज़र में दिख जाता है कि वृत्त B, X को अपने भीतर लेता है या नहीं।

प्र3.

ध्यान दीजिए कि आगे दिए गए चित्र में AX = 4 से.मी. है तथा AB = 8 से.मी. है। अत: BX क्या है? क्या यह लंबाई परिणामी चित्र के चित्रीयकरण में सहायता करती है?

उत्तर

BX = 4 से.मी., और यही पूरा चित्र तय कर देती है।

BX = AB – AX
= 8 से.मी. – 4 से.मी.
= 4 से.मी.

केंद्र B वाले वृत्त की त्रिज्या = 5 से.मी.
BX = 4 से.मी. < 5 से.मी.
अत: X, वृत्त B के भीतर स्थित है

ऐसा क्यों होता है: X वृत्त A का वह बिंदु है जो B के सबसे निकट है। यदि यह निकटतम बिंदु भी वृत्त B के भीतर है तो वृत्त A का कुछ भाग वृत्त B के भीतर है और कुछ (दूर वाला) बाहर — अत: दोनों वृत्तों का कटना अनिवार्य है और वे ठीक दो बिंदुओं पर कटते हैं। उनमें से किसी एक बिंदु को A तथा B के साथ लेने पर त्रिभुज बन जाता है। इस प्रकार 4 से.मी., 5 से.मी. एवं 8 से.मी. भुजाओं वाले त्रिभुज का अस्तित्व है।

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