गणित प्रकाश अध्याय 7 पता लगाइए

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

जाँच कीजिए कि निम्नलिखित लंबाइयों के प्रत्येक समूह के लिए एक त्रिभुज का अस्तित्व है या नहीं (लंबाइयाँ समान इकाई में हैं) — (a) 1, 100, 100 (b) 3, 6, 9 (c) 1, 1, 5 (d) 5, 10, 12

उत्तर

सबसे बड़ी लंबाई की तुलना शेष दो के योग से कीजिए।

समूह	सबसे बड़ी बनाम शेष दो का योग	त्रिभुज?
(a) 1, 100, 100	100 < 1 + 100 = 101	अस्तित्व है
(b) 3, 6, 9	9 = 3 + 6	अस्तित्व नहीं
(c) 1, 1, 5	5 > 1 + 1 = 2	अस्तित्व नहीं
(d) 5, 10, 12	12 < 5 + 10 = 15	अस्तित्व है

ऐसा क्यों होता है: (b) में योग ठीक बराबर है, कम नहीं। दोनों वृत्त केवल स्पर्श करते हैं, अत: 'तीसरा शीर्ष' आधार पर ही आ जाता है और आकृति सरल रेखा बन जाती है — बराबरी पर्याप्त नहीं है। (a) में छूट केवल 1 इकाई की है, अत: त्रिभुज बनता तो है पर बहुत पतला।

प्र2.

क्या भुजाओं 50, 50, 50 (समान इकाई में) वाले एक समबाहु त्रिभुज का अस्तित्व है? क्या व्यापक रूप में किसी भी लंबाई की भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का अस्तित्व है? अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

उत्तर

दोनों का उत्तर हाँ है।

50 < 50 + 50 = 100 ✓
तीनों तुलनाएँ एक-सी हैं, अत: त्रिभुज असमिका संतुष्ट है
भुजा 50 वाले समबाहु त्रिभुज का अस्तित्व है

किसी भी भुजा s (एक धनात्मक संख्या) के लिए —

शेष दो भुजाओं का योग = s + s = 2s
s धनात्मक है, अत: s < 2s सदैव सत्य है
इसलिए किसी भी लंबाई की भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का अस्तित्व है

ऐसा क्यों होता है: बराबर भुजाओं के लिए असमिका घटकर "s, 2s से कम है" रह जाती है, जिसे कोई भी धनात्मक संख्या तोड़ नहीं सकती। इसीलिए 2 मि.मी. का भी और 2 मीटर का भी समबाहु त्रिभुज उसी दो-चाप वाली विधि से बन जाता है।

प्र3.

निम्नलिखित में से प्रत्येक के लिए तीसरी लंबाई के न्यूनतम 5 संभावित मान दीजिए ताकि इन्हें भुजाओं की लंबाइयों के रूप में लेने पर एक त्रिभुज का अस्तित्व हो (दशमलव मानों को भी चुना जा सकता है) — (a) 1, 100 (b) 5, 5 (c) 3, 7

उत्तर

तीसरी लंबाई दोनों दी हुई लंबाइयों के अंतर से बड़ी तथा उनके योग से छोटी होनी चाहिए।

दी गई लंबाइयाँ	तीसरी लंबाई किनके बीच	पाँच संभावित मान
(a) 1, 100	100 – 1 = 99 तथा 100 + 1 = 101	99.5, 100, 100.2, 100.7, 99.8
(b) 5, 5	0 तथा 10	1, 3, 4.9, 5, 9
(c) 3, 7	7 – 3 = 4 तथा 7 + 3 = 10	4.5, 5, 6.4, 7, 9

ऐसा क्यों होता है: यहाँ दो शर्तें एक साथ काम करती हैं। नई लंबाई इतनी बड़ी न हो कि वह शेष दोनों के योग से बढ़ जाए, और इतनी छोटी भी न हो कि दी हुई बड़ी भुजा उसके तथा छोटी भुजा के योग से बड़ी हो जाए। दोनों मिलकर उसे अंतर और योग के बीच कैद कर देती हैं।

प्र4.

देखिए कि क्या आप प्रत्येक स्थिति में तीसरी भुजा की सभी संभावित लंबाइयों की व्याख्या कर सकते हैं ताकि इन लंबाइयों की भुजाओं के त्रिभुज का अस्तित्व हो जाए। उदाहरणार्थ स्थिति (a) में 99 और 101 के बीच की सभी संख्याएँ संभव होंगी।

उत्तर

प्रत्येक स्थिति में उत्तर एक खुला परास है: अंतर < तीसरी लंबाई < योग।

दिया गया युग्म	अंतर	योग	तीसरी लंबाई के सभी संभव मान
(a) 1, 100	99	101	99 और 101 के ठीक बीच
(b) 5, 5	0	10	0 और 10 के ठीक बीच
(c) 3, 7	4	10	4 और 10 के ठीक बीच

यदि दी गई दोनों लंबाइयाँ p तथा q हों और p ≤ q, तो तीसरी लंबाई x के लिए
q – p < x < q + p

ऐसा क्यों होता है: x < p + q रखने से x अत्यधिक लंबी भुजा नहीं बन पाती; x > q – p (जो q < x + p के समान है) रखने से q अत्यधिक लंबी भुजा नहीं बन पाती। सिरे के मान इसलिए छोड़ दिए जाते हैं क्योंकि बराबरी पर त्रिभुज चपटा होकर रेखा बन जाता है।

प्रयास करें: 5 और 5 के लिए परास 0 से शुरू होता है, क्योंकि दो बराबर भुजाएँ जितनी चाहें उतनी छोटी तीसरी भुजा सँभाल सकती हैं — त्रिभुज बस बहुत चपटा हो जाता है।

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