गणित प्रकाश अध्याय 7 पता लगाइए (2026-27)

प्र1.

निम्नलिखित मापों के लिए त्रिभुजों की रचना कीजिए जहाँ कोण भुजाओं के बीच में है — (a) 3 से.मी., 75°, 7 से.मी. (b) 6 से.मी., 25°, 3 से.मी. (c) 3 से.मी., 120°, 8 से.मी.

उत्तर

प्रत्येक स्थिति में लंबी दी हुई भुजा को आधार खींचिए, एक सिरे पर कोण बनाइए और नई भुजा पर दूसरी लंबाई अंकित कीजिए।

समूह	आधार	उस सिरे पर कोण	नई भुजा पर लंबाई	प्राप्त आकार
(a) 3 से.मी., 75°, 7 से.मी.	7 से.मी.	75°	3 से.मी.	विषमबाहु, न्यून कोण
(b) 6 से.मी., 25°, 3 से.मी.	6 से.मी.	25°	3 से.मी.	विषमबाहु, पतला
(c) 3 से.मी., 120°, 8 से.मी.	8 से.मी.	120°	3 से.मी.	विषमबाहु, अधिक कोण

उदाहरण के लिए (a) की रचना —

PQ = 7 से.मी. खींचिए।
P पर PQ से 75° बनाती हुई एक भुजा खींचिए।
उस भुजा पर R इस प्रकार अंकित कीजिए कि PR = 3 से.मी. हो।
QR मिलाइए। ΔPQR वाँछित त्रिभुज है।

स्वयं जाँचिए: प्रत्येक समूह से केवल एक ही त्रिभुज बनता है। (c) को ध्यानपूर्वक बनाने वाले दो सहपाठियों के त्रिभुज एक-दूसरे पर ठीक बैठ जाएँगे।

प्र2.

हम देख चुके हैं कि भुजाओं की लंबाइयों के सभी समूहों के लिए त्रिभुजों का अस्तित्व नहीं होता है। क्या दो भुजाओं और उनके अंतर्गत कोण की स्थिति में माप का कोई ऐसा संयोजन है जहाँ एक त्रिभुज की रचना संभव नहीं हो? इनकी रचना करते समय आपने जो प्रेक्षित किया है उसका उपयोग करते हुए अपने उत्तर का औचित्य दीजिए।

उत्तर

हाँ — परंतु केवल तब जब दिया हुआ कोण त्रिभुज का वास्तविक कोण ही न हो, अर्थात वह 180° या उससे अधिक हो।

माप	कागज़ पर क्या होता है	त्रिभुज?
3 से.मी., 180°, 7 से.मी.	दोनों भुजाएँ एक ही सरल रेखा में आ जाती हैं; तीसरा शीर्ष आधार पर ही पड़ता है	नहीं
4 से.मी., 210°, 6 से.मी.	ऐसा कोण त्रिभुज के अंत:कोण के रूप में खींचा ही नहीं जा सकता	नहीं
4 से.मी., 179°, 6 से.मी.	अत्यंत चपटा किंतु वास्तविक त्रिभुज	हाँ

ऐसा क्यों होता है: जब तक अंतर्गत कोण 0° से अधिक और 180° से कम है, दोनों भुजाएँ भिन्न दिशाओं में जाती हैं, अत: उनके दूर वाले सिरे सदैव मिलाए जा सकते हैं और त्रिभुज बन जाता है — भुजाओं की लंबाइयों से कोई अंतर नहीं पड़ता। केवल 180° पर दोनों भुजाएँ एक ही रेखा में आकर त्रिभुज को समाप्त कर देती हैं। इसलिए तीन भुजाओं वाली स्थिति के विपरीत यहाँ निर्णय अकेला कोण करता है।

संकेत: इसकी तुलना त्रिभुज असमिका से कीजिए। वहाँ लंबाइयाँ विफल हो सकती थीं; यहाँ वे कभी विफल नहीं होतीं।