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गणित प्रकाश अध्याय 7 पता लगाइए

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
यदि दो कोण दिए गए हों तो एक समांतर रेखा के उपयोग से त्रिभुज का तीसरा कोण ज्ञात कीजिए। (a) 36°, 72° (b) 150°, 15° (c) 90°, 30° (d) 75°, 45°
उत्तर

A से होकर BC के समांतर रेखा XY खींचिए। दोनों आधार कोण एकांतर कोणों के रूप में A पर फिर से बन जाते हैं, अत: A पर तीनों कोण मिलकर एक ऋजु कोण भर देते हैं।

∠XAB + ∠BAC + ∠YAC = 180°
∠B + ∠BAC + ∠C = 180°
तीसरा कोण = 180° – (शेष दो का योग)
दोनों कोणयोगतीसरा कोण
(a) 36°, 72°108°72°
(b) 150°, 15°165°15°
(c) 90°, 30°120°60°
(d) 75°, 45°120°60°

पुस्तक की भाँति (a) का पूरा हल —

∠XAB = ∠B = 36° तथा ∠YAC = ∠C = 72° (एकांतर कोण)
∠XAB + ∠BAC + ∠YAC = 180°
36° + ∠BAC + 72° = 180°
108° + ∠BAC = 180°
∠BAC = 72°
संकेत: (a) तथा (b) दोनों समद्विबाहु त्रिभुज देते हैं, क्योंकि तीसरा कोण दिए हुए किसी एक कोण के बराबर निकलता है।
प्र2.
क्या आप एक ऐसे त्रिभुज की रचना कर सकते हैं जिसके सभी कोण 70° के बराबर हैं? यदि दो कोण 70° के हैं तो तीसरा कोण क्या होगा? यदि किसी त्रिभुज के सभी कोण बराबर हैं तो प्रत्येक कोण का माप क्या होगा? खोजिए और ज्ञात कीजिए?
उत्तर

नहीं, ऐसा त्रिभुज संभव नहीं है।

70° + 70° + 70° = 210°
210° ≠ 180° → ऐसा त्रिभुज नहीं बनता

यदि दो कोण 70° के हों —

तीसरा कोण = 180° – (70° + 70°)
= 180° – 140°
= 40°

यदि तीनों कोण बराबर हों —

मान लीजिए प्रत्येक कोण x है
x + x + x = 180°
3x = 180°
x = 60°
ऐसा क्यों होता है: तीनों कोणों के पास बाँटने के लिए 180° का निश्चित बजट होता है। 70° के तीन कोण उसे 30° से अधिक खर्च कर देते हैं। बजट बराबर-बराबर बाँटने पर 180° ÷ 3 = 60° मिलता है — इसीलिए हर समबाहु त्रिभुज के तीनों कोण 60° के होते हैं।
प्र3.
यहाँ एक त्रिभुज है जिसमें हमें ज्ञात है कि ∠B = ∠C और ∠A = 50° है। क्या आप ∠B और ∠C ज्ञात कर सकते हैं?
उत्तर

∠B = ∠C = 65°।

50° 65° 65° A B C
शीर्ष कोण 50° वाला समद्विबाहु त्रिभुज; दोनों बराबर आधार कोण 65°-65° निकलते हैं।
∠A + ∠B + ∠C = 180°
50° + ∠B + ∠C = 180°
∠B + ∠C = 130°
परंतु ∠B = ∠C, अत: 2 × ∠B = 130°
∠B = 130° ÷ 2 = 65°
∠C = 65°
ऐसा क्यों होता है: कोण योग गुण बताता है कि दोनों आधार कोणों के हिस्से में कुल कितना आता है; और ∠B = ∠C की शर्त बताती है कि उस हिस्से को बराबर-बराबर बाँटना है। दो तथ्य, दो अज्ञात, एक साफ़ उत्तर।
स्वयं जाँचिए: 50° + 65° + 65° = 180° ✓
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