EN हिं

गणित प्रकाश अध्याय 8 गणित चर्चा

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
यहाँ एक वर्ग है जिसके अंदर कुछ रेखाएँ खींची गई हैं (चित्र 8.4)। छायांकित क्षेत्र पूरे वर्ग के क्षेत्रफल का कितना भाग घेरता है?
उत्तर

पूरे वर्ग का क्षेत्रफल 1 वर्ग इकाई मानकर एक-एक परत खोलिए।

चरण 1: दायाँ शीर्ष वर्ग पूरे वर्ग का एक चौथाई = 1/4 वर्ग इकाई
चरण 2: उसके अंदर का पीला त्रिभुज उसका आधा = 1/2 × 1/4 = 1/8 वर्ग इकाई
चरण 3: छायांकित भाग उस त्रिभुज का 3/4 = 3/4 × 1/8
= 3/32 वर्ग इकाई

अत: छायांकित क्षेत्र पूरे वर्ग का 3⁄32 भाग घेरता है।

यह विधि क्यों चलती है: “भिन्न का भिन्न का भिन्न” वस्तुत: गुणा की एक श्रृंखला है। हर चरण में देखा जाने वाला टुकड़ा छोटा होता जाता है, और तीनों भिन्नों का गुणनफल मूल पूर्ण में उसका हिस्सा बता देता है।
प्र2.
इस पीले त्रिभुज का कितना भाग छायांकित है? क्या आप पता कर सकते हैं कि ऐसा क्यों है?
उत्तर

पीले त्रिभुज का 3⁄4 भाग छायांकित है।

1 2 3 4 4 समान भाग; भाग 2, 3, 4 छायांकित
भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को कर्ण के मध्य-बिंदु से जोड़ने पर त्रिभुज चार समान भागों में बँट जाता है। उनमें से तीन छायांकित हैं।
बिना छायांकित भाग = 4 समान भागों में से 1 = 1/4
छायांकित = 1 − 1/4 = 3/4
चारों भाग बराबर क्यों हैं: आधार के मध्य-बिंदु से खींची ऊर्ध्वाधर रेखा और ऊर्ध्वाधर भुजा के मध्य-बिंदु से खींची क्षैतिज रेखा दोनों कर्ण के मध्य-बिंदु पर मिलती हैं। ये त्रिभुज को एक छोटा त्रिभुज, एक वर्ग (जो ऐसे दो त्रिभुजों के बराबर है) और एक और छोटा त्रिभुज में काटती हैं — कुल चार बराबर भाग।
प्र3.
नीचे दिए गए प्रत्येक चित्र में बड़े वर्ग का वह भाग ज्ञात कीजिए जिसे छायांकित क्षेत्र घेरता है।
उत्तर

चित्र (a): 3⁄8। छायांकित पट्टी दो समांतर विकर्णों के बीच है।

मुख्य विकर्ण के नीचे का बड़ा त्रिभुज = वर्ग का 1/2
छोटी समांतर रेखा के नीचे का त्रिभुज = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8
छायांकित पट्टी = 1/2 − 1/8
= 4/8 − 1/8
= 3/8

चित्र (b): 1⁄16। सारा काम बाएँ-ऊपरी चौथाई में हो रहा है।

बायाँ-ऊपरी चौथाई = वर्ग का 1/4
उसके मध्य-बिंदुओं को जोड़कर बना तिरछा वर्ग = 1/2 × 1/4 = 1/8
चारों कोने के त्रिभुज मिलकर = 1/4 − 1/8 = 1/8, अत: प्रत्येक = 1/32
दो कोने के त्रिभुज छायांकित = 2 × 1/32
= 1/16
संकेत: (b) में छायांकित टुकड़े तिरछे वर्ग के दाईं ओर के कोने वाले त्रिभुज हैं — एक ऊपर और एक नीचे।
क्या यह उपयोगी रहा? त्रुटि बताएँ