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गणित प्रकाश अध्याय 8 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
अब 5⁄12 × 7⁄18 ज्ञात करें।
उत्तर

वही दो चरण, बस संख्याएँ सामान्य हैं।

पूर्ण 18 पंक्तियों और 12 स्तंभों में = 12 × 18 भाग
7/18 ÷ 12 = 7/(12 × 18)
अब 5 से गुणा: (5 × 7)/(12 × 18)
= 35/216

5⁄12 × 7⁄18 = 35⁄216

सामान्यत: — ब्रह्मगुप्त का सूत्र (ब्रह्मस्फुट-सिद्धांत, 628 सामान्य संवत्):

a⁄b × c⁄d = (a × c)/(b × d)
क्या आप जानते हैं? यही सूत्र तब भी चलता है जब एक संख्या पूर्ण संख्या हो — उसे हर 1 वाली भिन्न लिख लीजिए। जैसे 3 × 3⁄4 = 3⁄1 × 3⁄4 = 9⁄4।
प्र2.
निम्नलिखित भिन्नों का गुणा कीजिए और गुणनफल को न्यूनतम रूप में व्यक्त कीजिए। 12⁄7 × 5⁄24
उत्तर

गुणा करने से पहले उभयनिष्ठ गुणनखंड काट दीजिए।

12/7 × 5/24 = (12 × 5)/(7 × 24)
12 और 24 का उभयनिष्ठ गुणनखंड 12 है
12 ÷ 12 = 1,   24 ÷ 12 = 2
= (1 × 5)/(7 × 2)
= 5/14
यह क्यों मान्य है: अंश और हर को एक ही संख्या से भाग देने पर भिन्न नहीं बदलती। पहले काटने से संख्याएँ छोटी रहती हैं — पहले गुणा करने पर 60⁄168 मिलता, जो सरल होकर 5⁄14 ही बनता।
प्र3.
आइए, इस विधि का उपयोग करते हुए हम एक और गुणन करें। 14⁄15 × 25⁄42
उत्तर

अंशों और हरों के बीच काट-छाँट कीजिए, फिर गुणा।

14/15 × 25/42 = (14 × 25)/(15 × 42)
14 और 42 में 14 उभयनिष्ठ → 1 और 3
25 और 15 में 5 उभयनिष्ठ → 5 और 3
= (1 × 5)/(3 × 3)
= 5/9
क्या आप जानते हैं? भारत में भिन्न को न्यूनतम रूप में लाने की प्रक्रिया को अपवर्तन कहते हैं। जैन विद्वान उमास्वाति (लगभग 150 सामान्य संवत्) ने एक दार्शनिक ग्रंथ में भी इसे उपमा के रूप में प्रयोग किया था।
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