निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात कीजिए। भिन्न को प्रदर्शित करने के लिए एक इकाई वर्ग को एक पूर्ण के रूप में उपयोग कीजिए। (a) 1⁄3 × 1⁄5 (b) 1⁄4 × 1⁄3 (c) 1⁄5 × 1⁄2 (d) 1⁄6 × 1⁄5
उत्तर
इकाई वर्ग को पंक्तियों (पहला हर) और स्तंभों (दूसरा हर) में बाँटिए, फिर एक खाना छायांकित कीजिए।
प्रश्न
पंक्तियाँ × स्तंभ
गुणनफल
(a) 1/3 × 1/5
3 × 5 = 15 भाग
1/15
(b) 1/4 × 1/3
4 × 3 = 12 भाग
1/12
(c) 1/5 × 1/2
5 × 2 = 10 भाग
1/10
(d) 1/6 × 1/5
6 × 5 = 30 भाग
1/30
(a) का चित्र — एक-पाँचवें का एक-तिहाई अर्थात 15 में से 1 खाना, यानी 1⁄15।
ऐसा क्यों होता है: क्षैतिज कटान और ऊर्ध्वाधर कटान एक-दूसरे से स्वतंत्र हैं, इसलिए छोटे खानों की संख्या सदैव पंक्तियाँ × स्तंभ होती है।
प्र2.
अब 1⁄12 × 1⁄18 ज्ञात कीजिए।
उत्तर
216 छोटे खाने बनाना कठिन है — इसके स्थान पर प्रतिरूप देखिए।
पंक्तियों की संख्या = 18 (गुण्य का हर)
स्तंभों की संख्या = 12 (गुणक का हर)
पूर्ण 18 × 12 = 216 समान भागों में
1/18 × 1/12 = 1/(18 × 12) = 1/216
सामान्यत:, दो भिन्नात्मक इकाइयों के लिए —
1⁄b × 1⁄d = 1/(b × d)
संकेत: जब चित्र बनाना कठिन हो जाए तो देखिए कि चित्र कर क्या रहा था और उसी को नियम बना लीजिए। इस अध्याय का हर सूत्र इसी तरह जन्मा है।
प्र3.
निम्नलिखित गुणनफलों को ज्ञात कीजिए। भिन्नों को प्रदर्शित करने के लिए एक इकाई वर्ग को एक पूर्ण के रूप में उपयोग कीजिए और संक्रियाओं को करके दिखाइए। (a) 2⁄3 × 4⁄5 (b) 1⁄4 × 2⁄3 (c) 3⁄5 × 1⁄2 (d) 4⁄6 × 3⁄5
उत्तर
अब एक से अधिक खाने छायांकित होते हैं — उतने ही जितने (अंश × अंश)।
प्रश्न
कुल भाग
छायांकित भाग
गुणनफल
(a) 2/3 × 4/5
3 × 5 = 15
2 × 4 = 8
8/15
(b) 1/4 × 2/3
4 × 3 = 12
1 × 2 = 2
2/12 = 1/6
(c) 3/5 × 1/2
5 × 2 = 10
3 × 1 = 3
3/10
(d) 4/6 × 3/5
6 × 5 = 30
4 × 3 = 12
12/30 = 2/5
ऐसा क्यों होता है: छायांकित टुकड़ा 3 × 5 के जाल में 2 खाने चौड़ा और 4 खाने ऊँचा एक आयत है — उसका क्षेत्रफल 3 × 5 में से 2 × 4 खाने। यही ब्रह्मगुप्त का नियम स्वयं प्रकट हो रहा है।
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