गणित प्रकाश अध्याय 8 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

आपको क्या लगता है कि गुणा की जाने वाली दोनों संख्याओं से गुणनफल कब बड़ा है, यह दोनों संख्याओं के बीच में है और कब यह दोनों संख्याओं से छोटा है? (संकेत— गुणनफल और गुणा की जाने वाली संख्याओं के बीच संबंध इस बात पर निर्भर करता है कि क्या वे 0 और 1 के बीच में हैं या वे 1 से बड़ी हैं।)

उत्तर

सब कुछ इस पर निर्भर है कि प्रत्येक संख्या 1 की तुलना में कहाँ है।

स्थिति	गुणा	संबंध
दोनों संख्याएँ 1 से बड़ी	4/3 × 4 = 16/3	गुणनफल दोनों से बड़ा
दोनों संख्याएँ 0 और 1 के बीच	3/4 × 2/5 = 3/10	गुणनफल दोनों से छोटा
एक 0 और 1 के बीच, एक 1 से बड़ी	3/4 × 5 = 15/4	गुणनफल दोनों के बीच में

बीच वाली पंक्ति जाँचिए: 3/4 = 15/20 और 2/5 = 8/20
गुणनफल 3/10 = 6/20
6/20 < 8/20 < 15/20 ✔

ऐसा क्यों होता है: 1 से छोटी संख्या से गुणा करने का अर्थ है दूसरी संख्या का केवल एक भाग लेना, इसलिए उत्तर घट जाता है। 1 से बड़ी संख्या से गुणा करने का अर्थ है उससे अधिक लेना, इसलिए उत्तर बढ़ जाता है।

प्र2.

प्रत्येक स्थिति के लिए और अधिक उदाहरणों का निर्माण कीजिए तथा गुणनफल एवं गुणा की जाने वाली संख्याओं के बीच के संबंध को ध्यान से देखिए। आप गुणा की जाने वाली संख्याओं और गुणनफल के बीच संबंध के विषय में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं? रिक्त स्थान भरिए— • जब गुणा की जाने वाली संख्याओं में से एक संख्या 0 और 1 के बीच की हो तो गुणनफल दूसरी संख्या से ____ (बड़ा / छोटा) होता है। • जब गुणा की जाने वाली संख्याओं में से एक संख्या 1 से बड़ी हो तो गुणनफल दूसरी संख्या से ____ (बड़ा / छोटा) होता है।

उत्तर

दोनों रिक्त स्थान एक ही विचार से भरते हैं।

जब एक संख्या 0 और 1 के बीच की हो तो गुणनफल दूसरी संख्या से छोटा होता है।
जब एक संख्या 1 से बड़ी हो तो गुणनफल दूसरी संख्या से बड़ा होता है।

आपका उदाहरण	गुणनफल	दूसरी संख्या से तुलना
1/2 × 9	9/2 = 4 1/2	9 से छोटा
5/2 × 6	15	6 से बड़ा
2/3 × 3/7	2/7	दोनों से छोटा
7/5 × 10/9	14/9	दोनों से बड़ा

संकेत: “गुणा करने से सदैव बड़ा होता है” — यह बात केवल 1 से बड़ी पूर्ण संख्याओं के लिए सही है। भिन्नों के साथ यह गलत है।

प्र3.

हम जानते हैं कि ¹⁄₂ × ¹⁄₄ = ¹⁄₈। अब ¹⁄₄ × ¹⁄₂ क्या होगा?

उत्तर

यह भी ¹⁄₈ ही होगा।

1/4 × 1/2 = (1 × 1)/(4 × 2) = 1/8
अत: ^a⁄_b × ^c⁄_d = ^c⁄_d × ^a⁄_b

ऐसा क्यों होता है: आयत को घुमा देने पर उसका क्षेत्रफल वही रहता है — लंबाई और चौड़ाई बस आपस में बदल जाती हैं। यही बात ब्रह्मगुप्त के सूत्र में भी दिखती है, क्योंकि a × c = c × a और b × d = d × b।

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