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गणित प्रकाश अध्याय 8 पता लगाइए

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
निम्नलिखित का मूल्यांकन कीजिए। 3 ÷ 7⁄9;   14⁄4 ÷ 2;   2⁄3 ÷ 2⁄3;   14⁄6 ÷ 7⁄3;   4⁄3 ÷ 3⁄4;   7⁄4 ÷ 1⁄7;   8⁄2 ÷ 4⁄15;   1⁄5 ÷ 1⁄9;   1⁄6 ÷ 11⁄12;   3 2⁄3 ÷ 1 3⁄8
उत्तर

हर भाजक को उलटिए और गुणा कीजिए।

विभाजनव्युत्क्रम से गुणाउत्तर
3 ÷ 7/93 × 9/727/7 = 3 6/7
14/4 ÷ 214/4 × 1/214/8 = 7/4 = 1 3/4
2/3 ÷ 2/32/3 × 3/21
14/6 ÷ 7/314/6 × 3/742/42 = 1
4/3 ÷ 3/44/3 × 4/316/9 = 1 7/9
7/4 ÷ 1/77/4 × 749/4 = 12 1/4
8/2 ÷ 4/154 × 15/415
1/5 ÷ 1/91/5 × 99/5 = 1 4/5
1/6 ÷ 11/121/6 × 12/1112/66 = 2/11
3 2/3 ÷ 1 3/811/3 × 8/118/3 = 2 2/3
संकेत: मिश्रित भिन्नों को पहले बदलिए — 3 2⁄3 = 11⁄3 और 1 3⁄8 = 11⁄8। फिर 11 आपस में सुंदर ढंग से कट जाते हैं।
प्र2.
नीचे दिए गए प्रत्येक प्रश्न के लिए उस व्यंजक को चुनिए जो हल का वर्णन करता हो। फिर उसे सरल कीजिए। (a) मारिया ने विद्यालय के लिए बनाए गए थैलों को सजाने के लिए 8 मीटर फीता (रिबन) खरीदा। उसने प्रत्येक थैले के लिए 1⁄4 मीटर फीते का उपयोग किया और सारा फीता खत्म कर दिया। उसने कितने थैलों को सजाया? (i) 8 × 1⁄4 (ii) 1⁄8 × 1⁄4 (iii) 8 ÷ 1⁄4 (iv) 1⁄4 ÷ 8.   (b) 8 बिल्ले (Badges) बनाने के लिए 1⁄2 मीटर फीते (रिबन) उपयोग किया जाता है। प्रत्येक बिल्ला बनाने के लिए उपयोग किए गए फीते की लंबाई क्या है? (i) 8 × 1⁄2 (ii) 1⁄2 ÷ 1⁄8 (iii) 8 ÷ 1⁄2 (iv) 1⁄2 ÷ 8.   (c) एक रोटी बनाने वाले (Baker) को बड़ी रोटी बनाने के लिए 1⁄6 किलोग्राम आटे की आवश्यकता है। उसके पास 5 कि.ग्रा. आटा है। उससे वह कितनी रोटियाँ बना सकता है? (i) 5 × 1⁄6 (ii) 1⁄6 ÷ 5 (iii) 5 ÷ 1⁄6 (iv) 5 × 6
उत्तर

(a) विकल्प (iii) — 8 मीटर में एक-चौथाई मीटर के कितने टुकड़े हैं?

8 ÷ 1/4 = 8 × 4 = 32 थैले

(b) विकल्प (iv) — आधा मीटर 8 बिल्लों में बँटता है।

1/2 ÷ 8 = 1/2 × 1/8 = 1/16 मीटर (प्रत्येक 6.25 से.मी.)

(c) विकल्प (iii) — 5 कि.ग्रा. में एक-छठाई किलोग्राम के कितने भाग हैं?

5 ÷ 1/6 = 5 × 6 = 30 रोटियाँ
विकल्प कैसे चुनें: पूछिए कि प्रश्न किस प्रकार का है। “छोटे टुकड़े कितने समाते हैं?” का अर्थ है टुकड़े से भाग। “एक पूर्ण कई में बँटा?” का अर्थ है हिस्सों की संख्या से भाग। (c) में विकल्प (iv) संयोग से सही संख्या देता है, पर 5 × 6 उस स्थिति का वर्णन नहीं करता।
प्र3.
यदि 12 रोटियाँ बनाने के लिए 1⁄4 कि.ग्रा. आटे का उपयोग किया जाता है तो 6 रोटियाँ बनाने के लिए कितना आटा उपयोग होता है?
उत्तर

6 रोटियाँ, 12 रोटियों की आधी हैं।

1 रोटी के लिए आटा = 1/4 ÷ 12 = 1/48 कि.ग्रा.
6 रोटियों के लिए = 6 × 1/48
= 6/48
= 1/8 कि.ग्रा.
छोटा रास्ता: आधी रोटियों के लिए आधा आटा — 1⁄4 कि.ग्रा. का आधा 1⁄8 कि.ग्रा. (125 ग्राम) है।
प्र4.
नौवीं शताब्दी ई. में श्रीधराचार्य द्वारा लिखित पुस्तक पाटीगणित में इस समस्या का उल्लेख है, “मित्र! सोचकर बताइए कि 1 ÷ 1⁄6, 1 ÷ 1⁄10, 1 ÷ 1⁄13, 1 ÷ 1⁄9 और 1 ÷ 1⁄2 को एक साथ जोड़ने पर क्या प्राप्त होगा?” मित्र का क्या उत्तर होगा?
उत्तर

1 को इकाई भिन्न से भाग देने पर उसका हर ही उत्तर होता है।

1 ÷ 1/6 = 6
1 ÷ 1/10 = 10
1 ÷ 1/13 = 13
1 ÷ 1/9 = 9
1 ÷ 1/2 = 2
योग = 6 + 10 + 13 + 9 + 2 = 40

मित्र को 40 कहना चाहिए।

ऐसा क्यों होता है: 1 ÷ 1⁄n पूछता है कि “एक पूर्ण में 1⁄n के कितने टुकड़े हैं?” — और उत्तर सदैव n होता है।
प्र5.
मीरा एक उपन्यास पढ़ रही है, जिसमें 400 पृष्ठ हैं। उसने कुल पृष्ठों का 1⁄5 भाग कल पढ़ा और आज कुल पृष्ठों का 3⁄10 भाग पढ़ा। उपन्यास को पूरा पढ़ने के लिए उसे अभी और कितने पृष्ठों को पढ़ने की आवश्यकता है?
उत्तर

दोनों दिन पढ़े गए पृष्ठ निकालिए, फिर 400 में से घटाइए।

कल = 1/5 × 400 = 80 पृष्ठ
आज = 3/10 × 400 = 120 पृष्ठ
अब तक पढ़े = 80 + 120 = 200 पृष्ठ
शेष = 400 − 200 = 200 पृष्ठ
दूसरा तरीका: 1/5 + 3/10 = 2/10 + 3/10 = 5/10 = 1/2। उसने ठीक आधी पुस्तक पढ़ ली है, अत: 400 का आधा = 200 पृष्ठ शेष हैं।
प्र6.
एक कार 1 लीटर पेट्रोल का उपयोग करके 16 कि.मी. चलती है। 2 3⁄4 लीटर पेट्रोल का उपयोग करके यह कितनी दूर तक जाएगी?
उत्तर

प्रति लीटर दूरी को लीटरों की संख्या से गुणा कीजिए।

2 3/4 लीटर = 11/4 लीटर
दूरी = 11/4 × 16
= 11 × 4
= 44 कि.मी.
यह क्यों काम करता है: 16 कि.मी. प्रति लीटर, अत: 2 लीटर से 32 कि.मी. और शेष 3⁄4 लीटर से 3⁄4 × 16 = 12 कि.मी.। कुल 32 + 12 = 44 कि.मी.।
प्र7.
अमृतपाल अपनी छुट्टियों के लिए एक गंतव्य का चयन करता है। यदि वह एक रेलगाड़ी से जाता है तो वहाँ पहुँचने में उसे 5 1⁄6 घंटे लगेंगे। यदि वह हवाई जहाज से जाता है तो वहाँ पहुँचने में उसे 1⁄2 घंटा लगेगा? हवाई जहाज द्वारा जाने से कितना समय बचेगा?
उत्तर

बचा समय दोनों समयों का अंतर है।

5 1/6 = 31/6 घंटे
बचत = 31/6 − 1/2
= 31/6 − 3/6
= 28/6
= 14/3 घंटे = 4 2/3 घंटे

हवाई जहाज से 4 2⁄3 घंटे, अर्थात 4 घंटे 40 मिनट बचते हैं।

स्वयं जाँचिए: 1⁄2 + 4 2⁄3 = 3⁄6 + 28⁄6 = 31⁄6 = 5 1⁄6 ✔
प्र8.
मरियम की दादी माँ एक केक बनाती हैं। मरियम और उसके चचेरे भाई केक का 4⁄5 भाग खा लेते हैं। शेष केक को मरियम की तीन सहेलियों द्वारा बराबर-बराबर बाँट लिया जाता है। प्रत्येक सहेली को केक का कितना भाग मिला?
उत्तर

पहले शेष केक निकालिए, फिर उसे तीन में बाँटिए।

शेष केक = 1 − 4/5 = 1/5
प्रत्येक सहेली = 1/5 ÷ 3
= 1/5 × 1/3
= केक का 1/15 भाग
ऐसा क्यों होता है: केक के एक-पाँचवें भाग को 3 बराबर टुकड़ों में काटने पर पंद्रहवें भाग बनते हैं, क्योंकि ऐसे 5 × 3 = 15 टुकड़े मिलकर पूरा केक बनाएँगे।
प्र9.
(565⁄465 × 707⁄676) के गुणनफल का वर्णन करने के लिए एक अथवा अधिक विकल्पों को चुनिए — (a) > 565⁄465 (b) < 565⁄465 (c) > 707⁄676 (d) < 707⁄676 (e) > 1 (f) < 1
उत्तर

गुणा करने की आवश्यकता ही नहीं — बस देखिए कि प्रत्येक भिन्न 1 की तुलना में कहाँ है।

565 > 465, अत: 565/465 > 1
707 > 676, अत: 707/676 > 1

दोनों संख्याएँ 1 से बड़ी हैं। इसलिए गुणनफल दोनों से बड़ा है और 1 से भी बड़ा है।

सही विकल्प: (a), (c) और (e)।

स्वयं जाँचिए: 565⁄465 ≈ 1.22 और 707⁄676 ≈ 1.05, अत: गुणनफल ≈ 1.27 — 1.22 से बड़ा, 1.05 से बड़ा, 1 से बड़ा ✔
प्र10.
पूरे वर्ग का कितना भाग छायांकित है?
उत्तर

छायांकन पूरी तरह वर्ग के दाएँ-निचले चौथाई के अंदर है।

“Y” आकृति दाएँ-निचले चौथाई को बाँटती है
दाएँ-निचले चौथाई के अंदर छायांकित भाग एक त्रिभुज और एक वर्ग मिलकर बनता है — उसके 8 बराबर आधों में से 3।
उस चौथाई को 1 इकाई मानिए।
छायांकन उस चौथाई के बाएँ आधे को भरता है, केवल ऊपर का एक छोटा त्रिभुज छोड़कर।
चौथाई का बायाँ आधा = 1/2
कटा हुआ त्रिभुज = 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8
चौथाई का छायांकित भाग = 1/2 − 1/8 = 3/8

पूरे वर्ग का छायांकित भाग = 3/8 × 1/4
= 3/32
चित्र कैसे पढ़ें: दोनों तिरछी रेखाएँ चौथाई के ऊपरी कोनों से चलकर उसके केंद्र पर मिलती हैं; वहाँ से एक सीधी रेखा नीचे की भुजा तक जाती है। यह रेखा ठीक बीचोंबीच है, इसलिए छायांकित टुकड़ा = चौथाई का बायाँ आधा − तिरछी रेखा के ऊपर का छोटा त्रिभुज।
प्र11.
चींटियों का एक समूह भोजन की खोज में निकला। जैसे-जैसे वे खोजते हैं, वे प्रत्येक बिंदु पर समान रूप से विभाजित होते रहते हैं (जैसा कि चित्र 8.7 में दिखाया गया है) और दो भोजन के स्रोतों पर पहुँचते हैं — एक समूह आम के पेड़ के पास और दूसरा समूह गन्ने के खेत के पास। मूल समूह का कितना भाग प्रत्येक खाद्य स्रोत तक पहुँचा?
उत्तर

पूरे समूह को 1 मानिए और हर विभाजन बिंदु पर उसे आधा करते जाइए।

विभाजनआम के पेड़ की ओरआगे बढ़ा
पहला बिंदु1/21/2
दूसरा बिंदु1/41/4
तीसरा बिंदु1/16 + 1/16 (वह शाखा फिर बँटती है)1/8 → 1/16 और 1/16 में
चौथा बिंदु1/321/32 → गन्ने का खेत
आम का पेड़ = 1/2 + 1/4 + 1/16 + 1/16 + 1/32
= 16/32 + 8/32 + 2/32 + 2/32 + 1/32
= 29/32

गन्ने का खेत = 1/16 + 1/32
= 2/32 + 1/32
= 3/32
स्वयं जाँचिए: 29⁄32 + 3⁄32 = 32⁄32 = 1 — पूरे समूह का हिसाब मिल गया ✔ लगभग सारी चींटियाँ आम के पेड़ तक पहुँचती हैं।
प्र12.
1 – 1⁄2 क्या है?   (1 – 1⁄2) × (1 – 1⁄3) ?   (1 – 1⁄2) × (1 – 1⁄3) × (1 – 1⁄4) × (1 – 1⁄5) ?   (1 – 1⁄2) × (1 – 1⁄3) × (1 – 1⁄4) × (1 – 1⁄5) × (1 – 1⁄6) × (1 – 1⁄7) × (1 – 1⁄8) × (1 – 1⁄9) × (1 – 1⁄10) ? एक सामान्य कथन बनाइए और व्याख्या कीजिए।
उत्तर

पहले हर कोष्ठक को एक भिन्न में बदलिए।

1 − 1/2 = 1/2

(1 − 1/2) × (1 − 1/3) = 1/2 × 2/3 = 1/3

1/2 × 2/3 × 3/4 × 4/5 = 1/5

1/2 × 2/3 × 3/4 × 4/5 × 5/6 × 6/7 × 7/8 × 8/9 × 9/10 = 1/10

सामान्य कथन:

(1 − 1/2) × (1 − 1/3) × (1 − 1/4) × … × (1 − 1/n) = 1/n
ऐसा क्यों होता है: 1 − 1⁄k = (k − 1)⁄k। अत: पूरी श्रृंखला 1⁄2 × 2⁄3 × 3⁄4 × … × (n − 1)⁄n बन जाती है। हर हर अगले अंश से कट जाता है और केवल पहला अंश 1 तथा अंतिम हर n बचते हैं।
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