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गणित प्रकाश अध्याय 1 आइए, पता लगाएँ

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
27000 और 10648 का घनमूल ज्ञात कीजिए।
उत्तर

त्रिकों में गुणनखंडन कीजिए।

27000 = 27 × 1000 = 33 × 103 = (3 × 10)3 = 303
∛27000 = 30
10648 = 2 × 5324 = 2 × 2 × 2662 = 2 × 2 × 2 × 1331
1331 = 11 × 11 × 11
10648 = 23 × 113 = (2 × 11)3 = 223
∛10648 = 22
इनका अनुमान भी लगाया जा सकता था: 10648 का अंत 8 पर है, अत: घनमूल का अंत 2 पर होगा। यह 8000 = 203 और 27000 = 303 के बीच है, अत: मूल 20 और 30 के बीच है — और उस परास में 2 पर समाप्त होने वाली एकमात्र संख्या 22 है।
प्र2.
1323 को घन संख्या बनाने के लिए आप किस संख्या से गुणा करेंगे?
उत्तर

गुणनखंडन करके देखिए कि किस अभाज्य का घातांक 3 के गुणज से कम है।

1323 = 3 × 441 = 3 × 3 × 147 = 3 × 3 × 3 × 49
= 33 × 72

तीनों 3 पहले ही त्रिक बना चुके हैं; 7 एक कम है। अत: 7 से गुणा कीजिए।

1323 × 7 = 9261 = 33 × 73 = (3 × 7)3 = 213
∛9261 = 21
7 ही सबसे छोटा गुणक क्यों है: घन बनाने के लिए प्रत्येक घातांक 3 का गुणज होना चाहिए। यहाँ 7 का घातांक 2 है, अत: उसे 3 तक पहुँचाने के लिए ठीक एक और 7 चाहिए। इससे छोटी कोई संख्या यह नहीं कर सकती, और बड़ी संख्या नए अभाज्य ले आएगी जिन्हें फिर सुधारना पड़ेगा।
प्र3.
निम्न में से सत्य या असत्य बताइए। साथ ही अपने तर्क की व्याख्या कीजिए। (i) किसी विषम संख्या का घन सम होगा। (ii) ऐसा कोई पूर्ण घन नहीं जो 8 पर समाप्त होता है। (iii) 2 अंकीय संख्या का घन 3 अंकीय संख्या हो सकता है। (iv) 2 अंकों वाली संख्या के घन में सात या अधिक अंक हो सकते हैं। (v) घन संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या विषम होती है।
उत्तर

पाँचों कथन असत्य हैं। कारण इस प्रकार हैं —

कथननिर्णयकारण
(i)विषम संख्या का घन सम होगाअसत्यविषम × विषम × विषम विषम ही होता है: 33 = 27, 73 = 343
(ii)कोई पूर्ण घन 8 पर समाप्त नहीं होताअसत्य23 = 8, 123 = 1728, 223 = 10648
(iii)2 अंकीय संख्या का घन 3 अंकीय हो सकता हैअसत्यसबसे छोटा 103 = 1000 है, जो पहले ही 4 अंकों का है
(iv)2 अंकीय संख्या के घन में 7 या अधिक अंक हो सकते हैंअसत्यसबसे बड़ा 993 = 970299 है, केवल 6 अंक
(v)घन संख्याओं के गुणनखंडों की संख्या विषम होती हैअसत्य8 के गुणनखंड 1, 2, 4, 8 — चार, अर्थात सम
(i) और (ii) क्यों असत्य हैं: विषम संख्या 2k + 1 होती है और विषम संख्याओं का गुणनफल सदैव विषम रहता है, अत: किसी विषम संख्या का घन सम हो ही नहीं सकता। (ii) के लिए, घन का अंतिम अंक आधार के अंतिम अंक से तय होता है और 2 का घन 8 पर समाप्त होता है — वस्तुत: 2 पर समाप्त होने वाली प्रत्येक संख्या का घन 8 पर समाप्त होता है।
(iii) और (iv) क्यों असत्य हैं: दो अंकों की संख्याएँ 10 से 99 तक हैं, अत: उनके घन 103 = 1000 से 993 = 970299 तक हैं। इस परास के प्रत्येक घन में 4, 5 या 6 अंक होते हैं — न 3, न 7।
(v) क्यों असत्य है: गुणनखंडों की विषम संख्या वर्ग का लक्षण है, घन का नहीं। किसी घन n3 के गुणनखंडों की संख्या विषम तभी होगी जब वह वर्ग भी हो, जैसे 64 = 43 = 82 (गुणनखंड 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 — सात)। 8 या 27 के लिए यह संख्या सम है।
प्र4.
आपको बताया जाता है कि 1331 एक पूर्ण घन संख्या है। इस संख्या का गुणनखंड किए बिना क्या आप अनुमान लगा सकते हैं कि इसका घनमूल क्या है? इसी प्रकार 4913, 12167 और 32768 के घनमूलों का अनुमान लगाइए।
उत्तर

हाँ — अंतिम अंक से इकाई अंक तय कीजिए और आकार से दहाई अंक।

घनअंतिम अंक → मूल का इकाई अंकपरासघनमूल
13311 → 11000 = 103, 8000 = 203 → मूल 10–20 में11
49133 → 7मूल 10–20 में17
121677 → 38000 = 203, 27000 = 303 → मूल 20–30 में23
327688 → 227000 = 303, 64000 = 403 → मूल 30–40 में32
यह अनुमान संयोग नहीं, निश्चित क्यों है: घन करने पर प्रत्येक अंक अलग अंतिम अंक देता है, अत: घन का अंतिम अंक उसके मूल का इकाई अंक अद्वितीय रूप से तय कर देता है (1→1, 3→7, 7→3, 8→2)। फिर संख्या का आकार दहाई अंक तय कर देता है। दोनों मिलकर ठीक एक ही संभावना छोड़ते हैं।
स्वयं जाँचिए: 113 = 1331, 173 = 4913, 233 = 12167, 323 = 32768. ✓
प्र5.
निम्नलिखित में से सबसे बड़ा कौन है? अपने तर्क की व्याख्या कीजिए। (i) 67³ – 66³ (ii) 43³ – 42³ (iii) 67² – 66² (iv) 43² – 42²
उत्तर

(i) 673 – 663 सबसे बड़ा है। पूरी घातें निकालने के बजाय दोनों अंतर-सूत्रों का उपयोग कीजिए।

a3 – (a – 1)3 = 3a2 – 3a + 1
a2 – (a – 1)2 = 2a – 1
व्यंजकहलमान
(i)673 – 6633(672) – 3(67) + 1 = 13467 – 201 + 113267
(ii)433 – 4233(432) – 3(43) + 1 = 5547 – 129 + 15419
(iii)672 – 6622(67) – 1 = 134 – 1133
(iv)432 – 4222(43) – 1 = 86 – 185
गणना से पहले ही उत्तर कैसे दिखता है: क्रमागत घनों का अंतर 3a2 की तरह बढ़ता है, जबकि क्रमागत वर्गों का अंतर केवल 2a की तरह। अत: (i) और (ii), (iii) तथा (iv) से कहीं बड़े हैं; और दोनों घन-अंतरों में बड़े a वाला जीतेगा। चूँकि 67 > 43 है, विकल्प (i) सबसे बड़ा है।
स्वयं जाँचिए: 673 = 300763 और 663 = 287496, अत: 300763 – 287496 = 13267. ✓
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