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गणित प्रकाश अध्याय 1 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
हम जानते हैं कि वर्गों के लिए 0, 1, 4, 5, 6, 9 ही संभावित इकाई अंक होते हैं। बताइए कि पूर्ण घनों के संभावित इकाई अंक क्या होंगे?
उत्तर

0 से 9 तक सभी दस अंक संभव हैं।

संख्या का इकाई अंक0123456789
उसके घन का इकाई अंक0187456329
घन वर्गों से भिन्न क्यों हैं: दसों अंकों का घन करने पर हर बार अलग इकाई अंक मिलता है, अत: यह संगति एक-एक है और दसों अंकों को ढक लेती है। वर्गों में 2 और 8 दोनों से 4, 3 और 7 दोनों से 9 मिलता है — दो अंक एक पर मुड़ जाते हैं और केवल छह परिणाम बचते हैं। इसीलिए इकाई अंक से कई संख्याएँ वर्ग होने से बाहर हो जाती हैं, पर कोई भी संख्या घन होने से बाहर नहीं होती।
संकेत: इससे घनमूल का अनुमान सरल हो जाता है। 4913 का अंत 3 पर है, अत: उसके घनमूल का अंत 7 पर होगा; और 103 = 1000 तथा 203 = 8000 के बीच होने से मूल 10 और 20 के बीच है — अत: वह 17 ही है।
प्र2.
क्या आप वर्गों के समान 1 अंक, 2 अंक और 3 अंक वाले पूर्ण घनों की संख्या ज्ञात कर सकते हैं? आप क्या अवलोकन करते हैं?
उत्तर

13, 23, 33, … से सीधे गिनिए और वर्गों से तुलना कीजिए।

अंकघनकितनेतुलना के लिए वर्गकितने
11, 821, 4, 93
227, 64216, 25, 36, 49, 64, 816
3125, 216, 343, 512, 7295100, 121, …, 96122

अवलोकन: घन, वर्गों की तुलना में बहुत विरल हैं। 1000 से छोटे केवल 9 घन हैं, जबकि वर्ग 31 हैं।

यह विरलता क्यों बढ़ती है: क्रमागत घनों का अंतर (n+1)3 – n3 = 3n2 + 3n + 1 है जो n2 की तरह बढ़ता है, जबकि क्रमागत वर्गों का अंतर केवल 2n + 1 है। घनों के अंतराल कहीं तेज़ी से चौड़े होते हैं, इसलिए किसी भी नियत परास में उनकी संख्या कम पड़ती जाती है।
प्र3.
क्या एक पूर्ण घन के अंत में दो शून्य (00) हो सकते हैं? व्याख्या कीजिए।
उत्तर

नहीं। किसी घन के अंत में 0, 3, 6 … शून्य हो सकते हैं, पर ठीक 2 कभी नहीं।

103 = 1000 → 3 शून्य
203 = 8000 → 3 शून्य
1003 = 1000000 → 6 शून्य
शून्यों की संख्या 3 का गुणज क्यों होती है: संख्या को m × 10k लिखिए, जहाँ m का अंत शून्य पर नहीं है। घन करने पर m3 × 103k मिलता है और m3 का अंत भी शून्य पर नहीं हो सकता — यदि होता तो 10, m3 को विभाजित करता और m में 2 तथा 5 दोनों होते। अत: घन के अंत में ठीक 3k शून्य होंगे, जो सदैव 3 का गुणज है। दो शून्य असंभव हैं।
संकेत: वर्गों से तुलना कीजिए, जहाँ अंत के शून्य सदैव सम संख्या में होते हैं। दोनों स्थितियों में शून्यों की संख्या उसी घात से गुणा हो जाती है जो आप ले रहे हैं।
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