प्र1.
1729 के पश्चात अगली दो टैक्सीकैब संख्याएँ 4104 और 13832 हैं। इनमें से प्रत्येक को दो धनात्मक घनों के योग के रूप में व्यक्त करने की दो विधियाँ ज्ञात कीजिए।
उत्तर
प्रत्येक संख्या से छोटे घनों में ऐसे दो घन खोजिए जिनका योग वही संख्या हो।
4104 = 23 + 163 = 8 + 4096
4104 = 93 + 153 = 729 + 3375
4104 = 93 + 153 = 729 + 3375
13832 = 23 + 243 = 8 + 13824
13832 = 183 + 203 = 5832 + 8000
13832 = 183 + 203 = 5832 + 8000
खोज को छोटा कैसे करें: 4104 के लिए सबसे बड़ा संभव घन 163 = 4096 है, क्योंकि 173 = 4913 पहले ही बड़ा है। अत: a को 1 से 16 तक चलाइए, 4104 में से a3 घटाइए और देखिए कि शेष कोई घन है या नहीं। केवल a = 2 और a = 9 काम करते हैं। इसी प्रकार 13832 पर a को 24 तक चलाने पर a = 2 और a = 18 मिलते हैं।
क्या आप जानते हैं? हार्डी ने 1729 को 'अत्यंत नीरस संख्या' कहा था, जिस पर रामानुजन ने उत्तर दिया कि यह वह न्यूनतम संख्या है जिसे दो घनों के योग के रूप में दो भिन्न प्रकार से व्यक्त किया जा सकता है — 1729 = 13 + 123 = 93 + 103। ध्यान दीजिए कि 13832 = 23 × 1729 है — अर्थात तीसरी टैक्सीकैब संख्या पहली की ही आठ गुनी है।