गणित प्रकाश अध्याय 1 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

आगे बढ़ते हुए इस श्रेणी में हमें क्रमागत विषम संख्याओं का निम्नलिखित योग प्राप्त होता है — 91 + 93 + 95 + 97 + 99 + 101 + 103 + 105 + 107 + 109. क्या आप गणना किए बिना ज्ञात कर सकते हैं कि उपर्युक्त का योगफल कितना है?

उत्तर

1000, अर्थात 10³।

पदों की गिनती: 91, 93, …, 109 → 10 क्रमागत विषम संख्याएँ
प्रतिरूप में n क्रमागत विषम संख्याओं का योग n³ होता है
अत: योग = 10³ = 1000

यह क्यों चलता है: पंक्तियों में क्रमश: 1, फिर 2, फिर 3, … क्रमागत विषम संख्याएँ ली गई हैं और उनके योग 1³, 2³, 3³, … हैं। अत: 10 संख्याओं की पंक्ति का योग 10³ ही होगा। बीच से भी देख सकते हैं — पद जोड़े बनाते हैं: 91 + 109 = 200, 93 + 107 = 200, इस प्रकार 200 के पाँच जोड़े, अर्थात 5 × 200 = 1000।

संकेत: प्रत्येक पंक्ति वहीं से आरंभ होती है जहाँ पिछली समाप्त हुई थी, अत: पंक्तियाँ कहीं भी नहीं दोहराती। इसीलिए n तक की सभी पंक्तियों को जोड़ने पर 1³ + 2³ + … + n³ विषम संख्याओं के एक अखंड खंड के रूप में मिल जाता है।

प्र2.

आइए, देखें कि क्या 3375 एक पूर्ण घन है?

उत्तर

हाँ, 3375 = 15³ है।

3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5
तीन समान समूह: (3 × 5) × (3 × 5) × (3 × 5)
= (3 × 5)³ = 15³
या त्रिकों में: (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5) = 3³ × 5³
अत: ∛3375 = 15

तीन समूह ही सही जाँच क्यों है: m का घन करने पर m का प्रत्येक अभाज्य ठीक तिगुनी बार आ जाता है। अत: पूर्ण घन वही संख्या है जिसमें प्रत्येक अभाज्य 3 के गुणज बार आता है, और यही कहने का दूसरा तरीका है कि पूरा गुणनखंडन तीन समान समूहों में बँट जाए। प्रत्येक घातांक को 3 से भाग देने पर घनमूल मिल जाता है।

प्र3.

क्या 500 एक पूर्ण घन है?

उत्तर

नहीं।

500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5
तीनों 5 एक त्रिक बना लेते हैं, परंतु 2 केवल दो ही हैं
अत: गुणनखंडों को तीन समान समूहों में नहीं बाँटा जा सकता

इसलिए 500 एक पूर्ण घन नहीं है।

एक कम घातांक ही निर्णय क्यों कर देता है: 500 = 2² × 5³ में 2 का घातांक 2 है जो 3 का गुणज नहीं है। गुणनखंडों को कैसे भी सजाइए, यह कमी दूर नहीं होगी।

स्वयं जाँचिए: 7³ = 343 और 8³ = 512, अत: 500 दो क्रमागत घनों के बीच पड़ता है। 500 को 2 से गुणा करने पर 1000 = 10³ मिल जाता है — यही सबसे छोटा गुणक है।

क्या यह उपयोगी रहा? त्रुटि बताएँ