गणित प्रकाश अध्याय 1 पाठ्य प्रश्न (2026-27)

प्र1.

निम्न संख्याओं के घनमूल ज्ञात कीजिए। (i) ∛64 = (ii) ∛512 = (iii) ∛729 =

उत्तर

प्रत्येक का गुणनखंडन त्रिकों में कीजिए।

(i) 64 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = (2 × 2)³ = 4³ → ∛64 = 4
(ii) 512 = 2⁹ = (2³)³ = 8³ → ∛512 = 8
(iii) 729 = 3⁶ = (3²)³ = 9³ → ∛729 = 9

घातांक से यह इतना शीघ्र क्यों हो जाता है: ये तीनों किसी एक ही अभाज्य की घातें हैं, अत: घनमूल लेने का अर्थ केवल घातांक को 3 से भाग देना है — 2⁶ → 2², 2⁹ → 2³, 3⁶ → 3²।

क्या आप जानते हैं? 64 पूर्ण वर्ग भी है (8²) और पूर्ण घन भी (4³), क्योंकि 64 = 2⁶ है और 6, 2 तथा 3 दोनों से विभाजित होता है। ऐसी अगली संख्या 729 = 3⁶ = 27² = 9³ है।

प्र2.

क्रमागत पूर्ण घनों के अंतर उस चरण तक ज्ञात कीजिए जब तक कि अंतर एकसमान न हो जाए। आपने क्या अवलोकन किया?

उत्तर

घनों से आरंभ करके बार-बार अंतर लीजिए।

पूर्ण घन	1	8	27	64	125	216	343
चरण 1	7	19	37	61	91	127
चरण 2	12	18	24	30	36
चरण 3	6	6	6	6

अंतर चरण 3 पर एकसमान हो जाते हैं और वह अचर मान 6 है।

चरण 3 ही क्यों, और 6 ही क्यों: वर्गों में एक बार अंतर लेने पर n² से 2n + 1 (घात 1) मिलता है और दूसरी बार लेने पर अचर 2। घनों में —
चरण 1: (n+1)³ – n³ = 3n² + 3n + 1, घात 2 का व्यंजक;
चरण 2: उसका अंतर 6n + 6, घात 1 का व्यंजक;
चरण 3: उसका अंतर अचर 6।
प्रत्येक बार अंतर लेने से घात एक कम हो जाती है, अत: तीसरी घात को तीन चरण चाहिए। बचा हुआ अचर 3 × 2 × 1 = 6 है, ठीक वैसे जैसे वर्गों में 2 × 1 = 2 बचता है।

संकेत: गणना से पहले अनुमान लगाइए — चौथी घातों के अंतर चरण 4 पर एकसमान होंगे और अचर 4 × 3 × 2 × 1 = 24 होगा। 1, 16, 81, 256, 625, 1296 पर आज़माइए।