गणित प्रकाश अध्याय 1 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

64 का वर्गमूल क्या है?

उत्तर

8 × 8 = 64 है, और (–8) × (–8) = 64 भी है।

8² = 64 और (–8)² = 64
अत: 64 के वर्गमूल +8 और –8 हैं
√64 = ±8; इस अध्याय में √64 = 8

दो वर्गमूल क्यों होते हैं: ऋणात्मक × ऋणात्मक = धनात्मक होता है, अत: किसी भी पूर्ण वर्ग के दो पूर्णांक वर्गमूल होते हैं जो केवल चिह्न में भिन्न हैं। सामान्यत: √(n²) = ±n। √ चिह्न अकेले प्रयोग होने पर केवल धनात्मक मूल दर्शाता है, इसीलिए √100 = 10 है, –10 नहीं।

प्र2.

यदि 327 या 576 जैसी कोई संख्या दी गई हो तो हम कैसे ज्ञात करेंगे कि यह एक पूर्ण वर्ग है? यदि यह एक पूर्ण वर्ग है तो हम इसका वर्गमूल किस प्रकार ज्ञात कर सकते हैं?

उत्तर

जाँचें क्रम से लगाइए — सबसे सरल पहले।

इकाई अंक। 327 का अंत 7 पर है, अत: वह निश्चित रूप से पूर्ण वर्ग नहीं है। 576 का अंत 6 पर है, अत: वह इस जाँच में बच जाता है पर निर्णय अभी नहीं हुआ।
वर्गों की सूची। 20² = 400, 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576। अत: 576 पूर्ण वर्ग है और √576 = 24। यह विधि चलती तो है पर बड़ी संख्याओं के लिए धीमी है।
विषम संख्याएँ घटाना। 1, 3, 5, … क्रमश: घटाइए; यदि kवें चरण पर ठीक 0 मिले तो संख्या k² है।
अभाज्य गुणनखंडन। अभाज्य गुणनखंडों को दो समान समूहों में बाँटिए।

576 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
= (2 × 2 × 2 × 3) × (2 × 2 × 2 × 3)
= 24², अत: √576 = 24

अभाज्य गुणनखंडन ही सबसे भरोसेमंद जाँच क्यों है: यदि कोई संख्या m² है तो m का प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड m² में दुगुनी बार आता है। अत: पूर्ण वर्ग ठीक वही संख्या है जिसमें प्रत्येक अभाज्य सम बार आता है — और प्रत्येक घातांक को आधा करते ही वर्गमूल सीधे मिल जाता है।

प्र3.

क्या हम इस विधि के माध्यम से 729 का वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं?

उत्तर

हाँ, परंतु इसमें अधिक समय लगेगा — 27 बार घटाना पड़ेगा।

729 – 1 = 728, 728 – 3 = 725, 725 – 5 = 720, …
… और 27वें चरण पर 53 घटाने से 0 शेष बचता है
अत: 729 = 27² और √729 = 27

यह विधि धीमी क्यों है: इस विधि से √N ज्ञात करने में लगभग √N चरण लगते हैं। 81 के लिए 9 चरण ठीक हैं, 729 के लिए 27, और छह अंकों की संख्या के लिए सैकड़ों। अभाज्य गुणनखंडन कहीं छोटा है — 729 = 3⁶ = (3³)² = 27², एक ही पंक्ति में।

स्वयं जाँचिए: विषम संख्याओं का योग 1 + 3 + 5 + … + 53 = 27² = 729 है, क्योंकि 53 = 2 × 27 – 1।

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