प्र1.
हम जानते हैं कि किसी एक पूर्णांक को स्वयं से गुणा करके एक पूर्ण वर्ग प्राप्त किया जा सकता है। क्या किसी संख्या का अभाज्य गुणनखंडन उसके पूर्ण वर्ग के निर्धारण में हमारी सहायता करेगा?
उत्तर
हाँ। यदि अभाज्य गुणनखंडों को दो समान भागों में बाँटा जा सके तो किसी एक भाग का गुणनफल ही वर्गमूल है।
36 = 2 × 2 × 3 × 3 = (2 × 3) × (2 × 3) = 62 → √36 = 6
50 = 2 × 5 × 5 → 2 का कोई सह-गुणनखंड नहीं → पूर्ण वर्ग नहीं
50 = 2 × 5 × 5 → 2 का कोई सह-गुणनखंड नहीं → पूर्ण वर्ग नहीं
यह क्यों काम करता है: m का वर्ग करने पर m का प्रत्येक अभाज्य ठीक दुगुनी बार आ जाता है। इसे उल्टा पढ़ने पर, कोई संख्या पूर्ण वर्ग तभी है जब उसका प्रत्येक अभाज्य सम बार आए — और तभी पूरा गुणनखंडन दो समान भागों में बँट सकता है। प्रत्येक घातांक को आधा करने पर मूल तुरंत मिल जाता है।