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गणित प्रकाश अध्याय 2 आइए, पता लगाएँ

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
निम्नलिखित को घातांकीय रूप में व्यक्त कीजिए। (i) 6 × 6 × 6 × 6 (ii) y × y (iii) b × b × b × b (iv) 5 × 5 × 7 × 7 × 7 (v) 2 × 2 × a × a (vi) a × a × a × c × c × c × c × d
उत्तर

गिनिए कि प्रत्येक गुणनखंड कितनी बार दोहराया गया है; वही गिनती उसका घातांक बन जाती है।

विस्तारित रूपघातांकीय रूप
(i)6 × 6 × 6 × 664 ( = 1296)
(ii)y × yy2
(iii)b × b × b × bb4
(iv)5 × 5 × 7 × 7 × 752 × 73 ( = 8575)
(v)2 × 2 × a × a22a2 ( = 4a2)
(vi)a × a × a × c × c × c × c × da3c4d
ऐसा क्यों होता है: भिन्न आधार अपने-अपने घातांक रखते हैं; उन्हें जोड़ा नहीं जा सकता। (iv) में कुल पाँच गुणनखंड हैं परंतु सभी एक ही संख्या नहीं हैं, इसलिए उत्तर 52 × 73 है, 55 या 355 नहीं। (vi) में d केवल एक बार आया है, अतः उसका घातांक 1 है — और d1 को केवल d लिखा जाता है।
प्र2.
नीचे दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंडन कीजिए तथा इन्हें चरघातांकी रूप में व्यक्त कीजिए। (i) 648 (ii) 405 (iii) 540 (iv) 3600
उत्तर
(i) 648 = 2 × 324 = 2 × 2 × 162 = 2 × 2 × 2 × 81
= 23 × 34 (8 × 81 = 648 ✓)
(ii) 405 = 5 × 81
= 34 × 5 (81 × 5 = 405 ✓)
(iii) 540 = 2 × 270 = 2 × 2 × 135 = 4 × 27 × 5
= 22 × 33 × 5 (4 × 27 × 5 = 540 ✓)
(iv) 3600 = 36 × 100 = (22 × 32) × (22 × 52)
= 24 × 32 × 52 (16 × 9 × 25 = 3600 ✓)
ऐसा क्यों होता है: प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन केवल एक ही होता है, अतः चरघातांकी रूप उसकी पहचान है। (iv) पर ध्यान दीजिए — तीनों घातांक सम हैं, जिसका अर्थ है कि 3600 एक पूर्ण वर्ग है, वास्तव में 602, क्योंकि 60 = 22 × 3 × 5।
संकेत: पहले संख्या को दो सुविधाजनक गुणनखंडों में तोड़िए (3600 = 36 × 100), प्रत्येक का गुणनखंडन कीजिए, फिर na × nb = na+b से समान आधार जोड़ लीजिए। यह 2 से ग्यारह बार भाग देने की तुलना में कहीं तीव्र है।
प्र3.
नीचे दिए गए प्रत्येक व्यंजकों का संख्यात्मक मान लिखिए। (i) 2 × 10³ (ii) 7² × 2³ (iii) 3 × 4⁴ (iv) (–3)² × (–5)² (v) 3² × 10⁴ (vi) (–2)⁵ × (–10)⁶
उत्तर
(i) 2 × 103 = 2 × 1000 = 2000
(ii) 72 × 23 = 49 × 8 = 392
(iii) 3 × 44 = 3 × 256 = 768
(iv) (–3)2 × (–5)2 = 9 × 25 = 225
(v) 32 × 104 = 9 × 10000 = 90000
(vi) (–2)5 × (–10)6 = (–32) × 10,00,000 = –3,20,00,000
ऐसा क्यों होता है: (iv) में दोनों घातांक सम हैं, अतः दोनों ऋण चिह्न समाप्त हो जाते हैं और उत्तर धनात्मक है। (vi) में घातांक 5 (विषम) और 6 (सम) हैं: पहला गुणनखंड ऋणात्मक रहता है, दूसरा धनात्मक हो जाता है और ऋणात्मक × धनात्मक = ऋणात्मक। इसे ma × na = (mn)a से भी देख सकते हैं: (–3)2 × (–5)2 = (–3 × –5)2 = 152 = 225।
स्वयं जाँचिए: –3,20,00,000 को इसी अध्याय में आगे आने वाले मानक रूप में –3.2 × 107 लिखा जाएगा।
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