गणित प्रकाश अध्याय 2 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

बताइए कि कागज को 10 बार मोड़ने के पश्चात निम्नलिखित में कौन-सा व्यंजक कागज की मोटाई को व्यक्त करता है? प्रारंभिक मोटाई को अक्षर संख्या v द्वारा निरूपित किया गया है। (i) 10v (ii) 10 + v (iii) 2 × 10 × v (iv) 2¹⁰ (v) 2¹⁰v (vi) 10²v

उत्तर

(v) 2¹⁰v

प्रारंभ: v
1 मोड़ के पश्चात: v × 2
2 मोड़ के पश्चात: v × 2 × 2 = v × 2²
…
10 मोड़ के पश्चात: v × 2 × 2 × … × 2 (दस बार 2) = 2¹⁰v = 1024v

शेष विकल्प क्यों गलत हैं:

10v और 2 × 10 × v मोड़ों की संख्या से गुणा करते हैं, प्रत्येक बार 2 से नहीं — यह रैखिक सोच है।
10 + v जोड़ता है; मोड़ना कभी जोड़ता नहीं।
2¹⁰ में प्रारंभिक मोटाई छूट गई है — यह केवल एक संख्या है, कोई मोटाई नहीं।
10²v = 100v; परंतु आधार 2 (दोगुना होना) होना चाहिए और घातांक 10 (मोड़ों की संख्या)। यहाँ दोनों की अदला-बदली हो गई है।

ऐसा क्यों होता है: n^a में आधार n बताता है कि क्या दोहराया जा रहा है और घातांक a बताता है कि कितनी बार। मोड़ने में "× 2" दस बार दोहराया जाता है, अतः आधार 2 है और घातांक 10 — इसका उल्टा कभी नहीं।

प्र2.

संख्या 32400 को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए और अभाज्य गुणनखंडों को उनके चरघातांकी रूप में प्रदर्शित कीजिए।

उत्तर

इस पृष्ठ के गुणनखंड-वृक्ष की भाँति सबसे छोटे अभाज्य से बार-बार भाग दीजिए।

32400 ÷ 2 = 16200
16200 ÷ 2 = 8100
8100 ÷ 2 = 4050
4050 ÷ 2 = 2025
2025 ÷ 5 = 405
405 ÷ 5 = 81
81 ÷ 3 = 27 ÷ 3 = 9 ÷ 3 = 3 ÷ 3 = 1

32400 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 3 × 3 × 3 × 3
= 2⁴ × 5² × 3⁴

जाँच: 2⁴ = 16, 5² = 25, 3⁴ = 81 और 16 × 25 × 81 = 400 × 81 = 32400। ✓

ऐसा क्यों होता है: चरघातांकी रूप केवल संक्षिप्त नहीं है — यह वह रूप है जिसमें संख्या की बनावट दिखाई देती है। 2⁴ × 5² × 3⁴ पढ़ते ही स्पष्ट हो जाता है कि 32400 एक पूर्ण वर्ग है (सभी घातांक सम हैं), यह 16, 25 और 81 से विभाज्य है और इसका वर्गमूल 2² × 5 × 3² = 180 है।

प्र3.

(–1)⁵ का मान क्या होगा? यह संख्या धनात्मक है या ऋणात्मक? (–1)⁵⁶ के विषय में आपका क्या विचार है?

उत्तर

(–1)⁵ = (–1)(–1)(–1)(–1)(–1)
= [(–1)(–1)] × [(–1)(–1)] × (–1)
= 1 × 1 × (–1) = –1 (ऋणात्मक)

(–1)⁵⁶ = (–1)(–1) के 28 युग्म
= 1 × 1 × … × 1 = 1 (धनात्मक)

ऐसा क्यों होता है: ऋण चिह्न दो-दो करके कट जाते हैं, क्योंकि (–1) × (–1) = +1 होता है। अतः केवल घातांक का सम या विषम होना महत्त्वपूर्ण है। ऋणात्मक संख्या की सम घात धनात्मक होती है (सभी ऋण चिह्न युग्म बना लेते हैं) और विषम घात ऋणात्मक (एक ऋण चिह्न बच जाता है)। यहाँ 5 विषम है और 56 सम।

संकेत: यह किसी भी ऋणात्मक आधार के लिए सही है: (–3)⁴ = 81 परंतु (–3)³ = –27। कोष्ठक का ध्यान रखिए — (–3)² = 9 है जबकि –3² = –9, क्योंकि दूसरे में केवल 3 का वर्ग हुआ है।

प्र4.

0² एवं 0⁵ का मान क्या है? 0ⁿ का मान क्या है?

उत्तर

0² = 0 × 0 = 0
0⁵ = 0 × 0 × 0 × 0 × 0 = 0
0ⁿ = 0, प्रत्येक गणन संख्या n के लिए

ऐसा क्यों होता है: जैसे ही कोई एक गुणनखंड शून्य होता है, गुणनफल शून्य हो जाता है। 0 को स्वयं से चाहे जितनी बार गुणा कीजिए, कुछ बनता ही नहीं — दोगुना करना बढ़ता है, आधा करना घटता तो है पर समाप्त नहीं होता, परंतु 0 से बार-बार गुणा पहले ही चरण में ढह जाता है और वहीं रह जाता है।

क्या आप जानते हैं? एक स्थिति छूट जाती है — 0⁰। नियम n⁰ = 1 में n ≠ 0 आवश्यक है, जबकि प्रतिरूप 0ⁿ = 0 उत्तर 0 चाहता है। दोनों प्रतिरूप आपस में नहीं मिलते, अतः 0⁰ को अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है। इसी कारण अध्याय n^a ÷ n^b में n ≠ 0 पर बल देता है।

प्र5.

क्या (–2)⁴ = 16 होता है? सत्यापित कीजिए।

उत्तर

हाँ।

(–2)⁴ = (–2) × (–2) × (–2) × (–2)
= [(–2) × (–2)] × [(–2) × (–2)]
= 4 × 4
= 16

ऐसा क्यों होता है: 4 सम है, अतः चारों ऋण चिह्न दो युग्म बना लेते हैं और प्रत्येक युग्म +1 देता है। सामान्यतः a सम होने पर (–n)^a = n^a और a विषम होने पर (–n)^a = –n^a। पिछले प्रश्न से तुलना कीजिए: (–2)³ = –8 है, 8 नहीं।

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