गणित प्रकाश अध्याय 2 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

क्या हम 10³ = 1/10⁻³ लिख सकते हैं?

उत्तर

हाँ।

1 ÷ 10^–3 = 1 ÷ (1/10³)
= 1 × 10³ (भिन्न से भाग देना अर्थात उसके व्युत्क्रम से गुणा करना)
= 10³

इसी तर्क से 7² = 1/7^–2 और 4^a = 1/4^–a। सामान्यतः

n^–a = 1/n^a तथा n^a = 1/n^–a, जहाँ n ≠ 0

ऐसा क्यों होता है: ऋणात्मक घातांक का अर्थ है "व्युत्क्रम", और व्युत्क्रम दो बार लेने पर आप वहीं लौट आते हैं जहाँ से चले थे। अतः घातांक का ऋण चिह्न सदैव घात को भिन्न की रेखा के आर-पार खिसकाकर बदला जा सकता है — हर से अंश में या अंश से हर में। इस पूरे प्रकरण की सबसे उपयोगी आदत यही है: रेखा पार करती घात अपने घातांक का चिह्न बदल देती है।

प्र2.

हमें a और b गणन संख्या लेने की आवश्यकता थी। क्या a और b कोई भी पूर्णांक हो सकते हैं? क्या व्यापकीकृत रूप अभी भी सत्य होगा?

उत्तर

हाँ — जैसे ही n⁰ = 1 और n^–a = 1/n^a इस प्रकार परिभाषित हो जाते हैं, तीनों नियम प्रत्येक पूर्णांक a और b के लिए सत्य रहते हैं (n ≠ 0)।

एक घातांक ऋणात्मक होने पर गुणनफल-नियम की जाँच:

2^–4 × 2⁷ = (1/2⁴) × 2⁷ = 2⁷/2⁴ = 2³
और नियम कहता है 2^–4+7 = 2³ ✓

3^–2 × 3^–5 = (1/3²) × (1/3⁵) = 1/3⁷ = 3^–7
और नियम कहता है 3^–2–5 = 3^–7 ✓

(13^–2)^–3 = 1/(13^–2)³ = 1/13^–6 = 13⁶
और नियम कहता है 13^{(–2)×(–3)} = 13⁶ ✓

ऐसा क्यों होता है: ये परिभाषाएँ मनमाने ढंग से नहीं चुनी गईं — इन्हें इसलिए चुना गया कि नियम बचे रहें। अध्याय n⁰ तक इस आग्रह से पहुँचता है कि 2⁴ ÷ 2⁴ = 2^4–4 सत्य बना रहे, और n^–a तक इस आग्रह से कि 2⁴ ÷ 2⁵ = 2^4–5 सत्य बना रहे। किसी नियम को आगे बढ़ाकर नए चिह्नों को इस प्रकार परिभाषित करना कि नियम चलता रहे — गणित में यह विधि बार-बार काम आती है।

प्र3.

निम्नलिखित के समतुल्य रूप लिखिए। (i) 2⁻⁴ (ii) 10⁻⁵ (iii) (–7)⁻² (iv) (–5)⁻³ (v) 10⁻¹⁰⁰

उत्तर

	दिया गया	समतुल्य रूप	मान
(i)	2^–4	1/2⁴	1/16 = 0.0625
(ii)	10^–5	1/10⁵	1/1,00,000 = 0.00001
(iii)	(–7)^–2	1/(–7)²	1/49 (धनात्मक)
(iv)	(–5)^–3	1/(–5)³	–1/125 (ऋणात्मक)
(v)	10^–100	1/10¹⁰⁰	दशमलव बिंदु, 99 शून्य, फिर 1

ऐसा क्यों होता है: घातांक का ऋण चिह्न संख्या को उलट देता है; वह संख्या को ऋणात्मक नहीं बनाता। इसीलिए (iii) धनात्मक है — उसका चिह्न सम घातांक 2 तय करता है, आगे लगा ऋण चिह्न नहीं — जबकि (iv) ऋणात्मक है क्योंकि 3 विषम है। आधार 1 से बड़ा हो तो ऋणात्मक घातांक सदैव 0 और 1 के बीच की संख्या देता है।

क्या आप जानते हैं? 10¹⁰⁰ को गूगोल कहते हैं, अतः 10^–100 एक गूगोलवाँ भाग है — ब्रह्मांड के आकार की तुलना में एक परमाणु के आकार से भी छोटा।

प्र4.

नीचे दिए गए प्रश्नों को हल कीजिए एवं उत्तरों को चरघातांकी रूप में लिखिए। (i) 2⁻⁴ × 2⁷ (ii) 3² × 3⁻⁵ × 3⁶ (iii) p³ × p⁻¹⁰ (iv) 2⁴ × (–4)⁻² (v) 8ᵖ × 8ᵠ

उत्तर

हर बार आधार समान है, अतः घातांक जोड़ दीजिए।

(i) 2^–4 × 2⁷ = 2^–4+7 = 2³ ( = 8)
(ii) 3² × 3^–5 × 3⁶ = 3^2–5+6 = 3³ ( = 27)
(iii) p³ × p^–10 = p^3–10 = p^–7 ( = 1/p⁷)
(v) 8^p × 8^q = 8^p+q

भाग (iv) में एक अतिरिक्त चरण चाहिए, क्योंकि आधार 2 और –4 भिन्न हैं। –4 को 2 की घात के रूप में लिखिए, यह ध्यान रखते हुए कि घातांक सम है इसलिए चिह्न समाप्त हो जाएगा:

(iv) (–4)^–2 = 1/(–4)² = 1/16 = 2^–4
2⁴ × (–4)^–2 = 2⁴ × 2^–4 = 2^4–4 = 2⁰ = 1

ऐसा क्यों होता है: (iii) को दोबारा देखिए — घातांक का ऋणात्मक आना पूरी तरह उचित है। p^–7 केवल 1/p⁷ है, जो p > 1 होने पर 1 से छोटी संख्या है। कुछ गलत नहीं हुआ; घातांक बस शून्य के पार चला गया है, ठीक वैसे ही जैसे अगले पृष्ठ की घात रेखा दिखाती है।

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