गणित प्रकाश अध्याय 2 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

क्या आप बता सकते हैं कि तीनों दूरियों में सबसे कम दूरी किसकी है?

उत्तर

सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी, 1.496 × 10¹¹ मीटर।

दूरी	मानक रूप	घातांक
सूर्य से शनि	1.4335 × 10¹² मीटर	12
शनि से अरुण	1.439 × 10¹² मीटर	12
सूर्य से पृथ्वी	1.496 × 10¹¹ मीटर	11

10¹¹, 10¹² से 10 गुना छोटा है
1.496 × 10¹¹ ≈ 0.15 × 10¹², जो 1.4335 × 10¹² से कम है

ऐसा क्यों होता है: पहले घातांक की तुलना कीजिए। तीनों गुणांक लगभग 1.4 के पास हैं, अतः गुणांक कुछ तय नहीं करते — सब कुछ घातांक तय करता है। पूरा लिखने पर ये तीनों संख्याएँ 14,33,50,00,00,000, 14,39,00,00,00,000 और 1,49,60,00,00,000 मीटर हैं, और सबसे छोटी पहचानने के लिए अल्पविराम गिनने पड़ते। वही गिनती घातांक आपके लिए कर देता है।

क्या आप जानते हैं? पहली दो में शनि–अरुण (1.439 × 10¹²) बहुत थोड़ी-सी बड़ी है — यहाँ गुणांक ही निर्णय करते हैं, क्योंकि घातांक बराबर हैं।

प्र2.

नीचे दी गई संख्या रेखा सूर्य और शनि के मध्य दूरी (1.435 × 10¹² मीटर) को दर्शाती है। इस संख्या रेखा पर पृथ्वी की सापेक्ष स्थिति को चिह्नित कीजिए। ध्यान दीजिए कि सूर्य और पृथ्वी के बीच की दूरी 1.496 × 10¹¹ मीटर है।

उत्तर

ज्ञात कीजिए कि पृथ्वी, सूर्य–शनि दूरी के कितने भाग पर है।

पृथ्वी की दूरी ÷ शनि की दूरी
= (1.496 × 10¹¹) ÷ (1.4335 × 10¹²)
= (1.496 ÷ 1.4335) × 10^11–12
= 1.0436 × 10^–1
≈ 0.104, अर्थात रेखा के लगभग दसवें भाग पर

अतः पृथ्वी का चिह्न सूर्य के बहुत निकट — रेखा के बाएँ सिरे से लगभग दसवें भाग पर — लगेगा।

पूरी रेखा 1.4335 × 10¹² मीटर की है। पृथ्वी का चिह्न सूर्य से लगभग दसवें भाग पर आता है।

ऐसा क्यों होता है: मानक रूप में दो संख्याओं का भाग सरल है — गुणांकों में भाग दीजिए और घातांक घटा दीजिए। घटाव 11 – 12 = –1 गुणांकों को छुए बिना ही तुरंत कह देता है "लगभग दसवाँ भाग"। इस संकेतन का व्यावहारिक लाभ यही है: मोटा उत्तर पहले आता है, सटीकता बाद में।

ध्यान दीजिए: हिंदी पुस्तक में यह दूरी 1.435 × 10¹² मीटर छपी है, जबकि पिछले पृष्ठ पर और अंग्रेज़ी संस्करण में यही दूरी 1.4335 × 10¹² मीटर दी गई है। यहाँ 1.4335 × 10¹² मीटर ही सही मान है; इससे उत्तर लगभग नहीं बदलता (0.104 के स्थान पर 0.1043)।

प्र3.

निम्नलिखित संख्याओं को मानक रूप में व्यक्त कीजिए। (i) 59,853 (ii) 65,950 (iii) 34,30,000 (iv) 70,04,00,00,000

उत्तर

दशमलव बिंदु को इतना खिसकाइए कि उसके आगे ठीक एक अशून्य अंक रह जाए; जितने स्थान खिसका, वही घातांक है।

	संख्या	कितने स्थान खिसका	मानक रूप
(i)	59,853	4	5.9853 × 10⁴
(ii)	65,950	4	6.595 × 10⁴
(iii)	34,30,000	6	3.43 × 10⁶
(iv)	70,04,00,00,000	10	7.004 × 10¹⁰

ऐसा क्यों होता है: दशमलव बिंदु को एक स्थान बाईं ओर खिसकाना संख्या को 10 से भाग देना है, अतः उसकी भरपाई 10¹ से गुणा करके करनी पड़ती है। k स्थान बाईं ओर खिसकाने की कीमत 10^k होती है। अंत के शून्य गुणांक से हटा दिए जाते हैं परंतु बीच के शून्य नहीं: (iv) में 7.004 के शून्य सार्थक अंकों के बीच हैं और सूचना रखते हैं, जबकि अंत के दस शून्य पूरी तरह 10¹⁰ में समा जाते हैं।

स्वयं जाँचिए: पूर्ण संख्या में घातांक सदैव अंकों की संख्या से एक कम होता है। 59,853 में 5 अंक हैं, अतः घातांक 4; 70,04,00,00,000 में 11 अंक हैं, अतः घातांक 10।

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