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गणित प्रकाश अध्याय 2 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
यदि कोई व्यक्ति बिना रुके चले तो वह अपने जीवनकाल में पृथ्वी की कितनी बार परिक्रमा कर सकता है? मान लीजिए कि पृथ्वी के चारों ओर की दूरी 40,000 किलोमीटर है।
उत्तर

तार्किक धारणाओं पर लगभग 18 बार।

मान लीजिए 5 किलोमीटर प्रति घंटा की चाल से 8 घंटे प्रतिदिन = 40 किलोमीटर प्रतिदिन
मान लीजिए जीवन के 50 वर्ष तक चलना

एक वर्ष में दूरी = 40 × 365 = 14,600 किलोमीटर
50 वर्ष में दूरी = 14,600 × 50 = 7,30,000 किलोमीटर
परिक्रमाओं की संख्या = 7,30,000 ÷ 40,000 ≈ 18 बार

मानक रूप में: 7.3 × 105 किलोमीटर चले, जबकि एक परिक्रमा 4 × 104 किलोमीटर की है।

ऐसा क्यों होता है: जीवन भर चलने के लिए यह उत्तर आश्चर्यजनक रूप से छोटा है, और यही सीख है। चलना रैखिक है — दूरी प्रतिदिन निश्चित 40 किलोमीटर से बढ़ती है, इससे तेज कभी नहीं। पचास वर्ष का चलना बीस परिक्रमाओं से भी कम बनता है, जबकि पृष्ठ 19 का कागज 46 चरणों में चंद्रमा पार कर गया। अगला पृष्ठ इसी अंतर को नाम देता है।
क्या आप जानते हैं? आधुनिक परिवहन से पूर्व व्यापारी, संत और विद्वान वास्तव में रेगिस्तान, पहाड़ और नदियाँ पार करके विश्व के दूर-दूर के भागों तक हजारों किलोमीटर पैदल चलते थे।
प्र2.
रॉक्सी कहती है, “मुझे आश्चर्य है कि यदि हमारे पास वास्तव में ऐसी सीढ़ी होती तो उसमें कितने पायदान होते?” इसके विषय में आपका क्या विचार है? सर्वप्रथम सहज अनुमान लगाइए।
उत्तर

गणना से पहले अनुमान लगाइए। अधिकांश पहले अनुमान लाखों में होते हैं; वास्तविक उत्तर है लगभग 192 करोड़ पायदान।

चंद्रमा की दूरी = 3,84,400 किलोमीटर
मान लीजिए दो पायदानों के बीच 20 सेंटीमीटर की दूरी

3,84,400 किलोमीटर = 3,84,400 × 1,00,000 सेंटीमीटर = 3.844 × 1010 सेंटीमीटर
पायदानों की संख्या = 3.844 × 1010 ÷ 20
= 1.922 × 109
= 1,92,20,00,000 पायदान
ऐसा क्यों होता है: हम ऐसे प्रश्नों को उन सीढ़ियों से आँकते हैं जो हमने देखी हैं, जिनमें बीस-तीस पायदान होते हैं, अतः 109 तक की छलाँग अविश्वसनीय लगती है। 10 की घातों में काम करने से यह सँभल जाता है: सेंटीमीटर और किलोमीटर में 105 का अंतर है और हमारा सहज बोध यही एक गुणनखंड छोड़ देता है।
प्र3.
क्या पायदानों की संख्या हजारों, लाखों, करोड़ों या उससे भी और अधिक होगी?
उत्तर

करोड़ों में — 192 करोड़ 20 लाख पायदान, अर्थात 1 बिलियन 922 मिलियन पायदान।

1,92,20,00,000 = 1.922 × 109
1 करोड़ = 107, अतः यह 192.2 करोड़ है
1 अरब = 109, अतः यह लगभग 1.9 अरब है

बिना सटीक गणना के भी यही निष्कर्ष निकालने की एक तीव्र विधि: चंद्रमा लगभग 4 × 1010 सेंटीमीटर दूर है और 20 सेंटीमीटर = 2 × 101 सेंटीमीटर, अतः गिनती लगभग (4 ÷ 2) × 1010–1 = 2 × 109 है।

ऐसा क्यों होता है: यह मोटी जाँच केवल इसी अध्याय के नियमों का उपयोग करती है — गुणांकों में भाग दीजिए, घातांक घटाइए। यह एक ही पंक्ति में 10 की सही घात दे देती है, और प्रश्न यही तो पूछ रहा है। सटीक आँकड़ा परिशुद्धि जोड़ता है, पर "करोड़ों" वाले उत्तर को बदलता नहीं।
प्र4.
हमें ज्ञात करना है कि कितने 20 सेंटीमीटर मिलकर 3,84,400 किलोमीटर बनाते हैं।
उत्तर
3,84,400 किलोमीटर
= 3,84,400 × 1000 मीटर (1 किलोमीटर = 1000 मीटर)
= 3,84,400 × 1000 × 100 सेंटीमीटर (1 मीटर = 100 सेंटीमीटर)
= 3,84,400 × 105 सेंटीमीटर
= 3.844 × 105 × 105 सेंटीमीटर = 3.844 × 1010 सेंटीमीटर

20 सेंटीमीटर की लंबाइयों की संख्या = 3.844 × 1010 ÷ (2 × 101)
= 1.922 × 109
= 1,92,20,00,000
ऐसा क्यों होता है: किलोमीटर से सेंटीमीटर का मात्रक-परिवर्तन स्वयं 10 की एक घात है — 105 का गुणनखंड — अतः पूरा परिवर्तन घातांकों का एक ही योग है, 5 + 5 = 10। इस विधि से ऐसे प्रश्नों की सबसे सामान्य भूल — बीच में कोई शून्य छूट जाना या बढ़ जाना — समाप्त हो जाती है।
प्र5.
क्या आप रैखिक वृद्धि और चरघातांकी वृद्धि के कुछ उदाहरण दे सकते हैं?
उत्तर

रैखिक वृद्धि प्रत्येक चरण पर एक निश्चित मात्रा जोड़ती है; चरघातांकी वृद्धि प्रत्येक चरण पर एक निश्चित गुणक से गुणा करती है।

रैखिक वृद्धि (योगात्मक)चरघातांकी वृद्धि (गुणनात्मक)
सीढ़ी के पायदान: प्रत्येक बार + 20 सेंटीमीटरकागज मोड़ना: प्रत्येक बार × 2
प्रति सप्ताह ₹50 की बचतचक्रवृद्धि ब्याज पर रखा धन
एक समान गति से टंकी भरनाजादुई तालाब के कमल: प्रतिदिन × 2
एक समान चाल से तय की गई दूरीहर 20 मिनट में दो भागों में बँटते जीवाणु
पुस्तक के पृष्ठों की संख्या डालनागुप्त संकेत में खाँचे बढ़ाना: प्रत्येक खाँचे पर × 10
एक-एक पुस्तक रखकर बनता ढेर"चमकते पत्थर..." के हीरे: प्रत्येक स्तर पर × 3
n चरणों के पश्चात रैखिक: प्रारंभ + n × d
n चरणों के पश्चात चरघातांकी: प्रारंभ × rn
ऐसा क्यों होता है: समय के साथ दोनों का व्यवहार बहुत भिन्न होता है। रैखिक वृद्धि किसी भी दिए गए स्तर को एक बार, एक निश्चित क्षण पर पार करती है। चरघातांकी वृद्धि बहुत समय तक छोटी रहती है और फिर किसी भी रैखिक प्रक्रिया को, चाहे वह कितनी भी तेज हो, पीछे छोड़ देती है, क्योंकि निश्चित गुणक चक्रवृद्धि होता है। ठीक इसी कारण 46 मोड़ 192 करोड़ पायदानों को हरा देते हैं।
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