गणित प्रकाश अध्याय 2 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

केलेनकेन गिलरमॉई एक प्रकार का आतंकी पक्षी है। इसका जीवाश्म 15 मिलियन वर्ष (150 लाख वर्ष) ( ≈_______________ सेकंड) पुराना है। [रिक्त स्थान भरिए।]

उत्तर

≈ 4.7 × 10¹⁴ सेकंड

1 वर्ष ≈ 3.15 × 10⁷ सेकंड
15 मिलियन वर्ष = 1.5 × 10⁷ वर्ष

समय = (1.5 × 10⁷) × (3.15 × 10⁷)
= (1.5 × 3.15) × 10⁷⁺⁷
= 4.725 × 10¹⁴
≈ 4.7 × 10¹⁴ सेकंड

यह 10¹⁴ सेकंड वाली पंक्ति में आता है, जिसे तालिका ≈ 3.17 मिलियन वर्ष बताती है — और 15 ÷ 3.17 ≈ 4.7, जो गुणांक से ठीक मेल खाता है।

ऐसा क्यों होता है: पंक्ति का शीर्षक स्वयं एक रूपांतरण गुणक है। एक बार जान लेने पर कि 10¹⁴ सेकंड ≈ 3.17 मिलियन वर्ष, उस पंक्ति की कोई भी अवधि केवल गुणांकों के एक भाग से बदली जा सकती है, घातांक को छूने की आवश्यकता ही नहीं पड़ती। तालिका को इस तरह पढ़ना हर बार वर्ष की लंबाई से गुणा करने से कहीं तीव्र है।

प्र2.

पृथ्वी पर पौधों की उत्पत्ति 47 करोड़ या 470 मिलियन वर्ष पूर्व (≈ _______________ सेकंड) हुई थी। [रिक्त स्थान भरिए।]

उत्तर

≈ 1.5 × 10¹⁶ सेकंड

470 मिलियन वर्ष = 4.7 × 10⁸ वर्ष
1 वर्ष ≈ 3.15 × 10⁷ सेकंड

समय = (4.7 × 10⁸) × (3.15 × 10⁷)
= 14.8 × 10¹⁵
= 1.48 × 10¹⁶ ≈ 1.5 × 10¹⁶ सेकंड

पंक्ति के शीर्षक से जाँच: 10¹⁶ सेकंड ≈ 31.7 करोड़ वर्ष और 47 ÷ 31.7 ≈ 1.5। ✓

ऐसा क्यों होता है: बीच में आए 14.8 × 10¹⁵ पर ध्यान दीजिए। यह सही है पर मानक नहीं, अतः दशमलव बिंदु एक स्थान बाईं ओर जाता है और घातांक 1 बढ़ जाता है। मानक रूप में हर गुणा के अंत में यह समायोजन करना पड़ सकता है, क्योंकि 10 से छोटे दो गुणांक गुणा होकर 10 से बड़े हो सकते हैं।

प्र3.

गणना कीजिए और वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करते हुए उत्तर लिखिए। (i) यदि एक तारे की गणना में 1 सेकंड का समय लगता है तो इस ब्रह्मांड में स्थित सभी तारों की गणना में कितना समय लगेगा? वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करते हुए उत्तर को सेकंड की संख्या के रूप में लिखिए।

उत्तर

अवलोकनीय ब्रह्मांड में तारे ≈ 2 × 10²³
दर = 1 तारा प्रति सेकंड

समय = 2 × 10²³ ÷ 1
= 2 × 10²³ सेकंड

यह कितना लंबा है? वर्षों में बदलिए:

(2 × 10²³) ÷ (3.15 × 10⁷)
≈ 0.63 × 10¹⁶ = 6.3 × 10¹⁵ वर्ष

ब्रह्मांड की आयु स्वयं लगभग 1.38 × 10¹⁰ वर्ष है, अतः एक-एक सेकंड में एक तारा गिनने पर ब्रह्मांड की आयु से लगभग 4.6 लाख गुना समय लगेगा।

ऐसा क्यों होता है: सेकंडों की संख्या तो सरल है — प्रति तारा एक — पर जब तक उसकी तुलना किसी परिचित राशि से न हो, उसका कोई अर्थ नहीं। 2 × 10²³ सेकंड को "ब्रह्मांड के अस्तित्व से भी कहीं अधिक" में बदल देना ही इस भाग का पूरा उद्देश्य है: बहुत बड़ी राशियाँ हमारे अनुभव से परे होती हैं, अतः हम उन्हें उन राशियों से जोड़ते और तुलना करते हैं जिनसे हम परिचित हैं।

प्र4.

गणना कीजिए और वैज्ञानिक संकेतन का उपयोग करते हुए उत्तर लिखिए। (ii) यदि एक व्यक्ति एक गिलास पानी (200 मिलीलीटर) 10 सेकंड में पीता है तो पृथ्वी पर उपलब्ध संपूर्ण पानी को पीने में उसे कितना समय लगेगा?

उत्तर

पृथ्वी पर पानी की बूँदें ≈ 2 × 10²⁵, 16 बूँदें प्रति मिलीलीटर

आयतन = (2 × 10²⁵) ÷ 16 मिलीलीटर
= 0.125 × 10²⁵ = 1.25 × 10²⁴ मिलीलीटर

गिलास = 1.25 × 10²⁴ ÷ 200
= 0.00625 × 10²⁴ = 6.25 × 10²¹ गिलास

समय = 6.25 × 10²¹ × 10 सेकंड
= 6.25 × 10²² सेकंड

वर्षों में यह लगभग 2 × 10¹⁵ वर्ष है — फिर से ब्रह्मांड की आयु से कहीं अधिक।

ऐसा क्यों होता है: यह शृंखला तीन चरणों की है — बूँदों से मिलीलीटर, मिलीलीटर से गिलास, गिलास से सेकंड — और प्रत्येक चरण मानक रूप में एक भाग या गुणा है, अतः घातांक सीधे 25 → 24 → 21 → 22 चलते जाते हैं। इसी संकेतन में काम करते रहने से 25 अंकों की संख्याओं पर तीन चरणों की गणना एक पंक्ति में हो जाती है।

क्या आप जानते हैं? आधुनिक भौतिकी के अनुसार 10¹⁸ सेकंड पूर्व ब्रह्मांड अस्तित्व में ही नहीं था, अतः 10²² सेकंड वाला उत्तर ऐसी अवधि है जो कोई कभी बिता ही नहीं सकता। ये प्रश्न विचार-प्रयोग हैं, जिनका उद्देश्य आकार का बोध बनाना है।

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