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गणित प्रकाश अध्याय 2 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
3⁷ को 3² × 3⁵ के रूप में भी लिखा जा सकता है। क्या आप इस प्रकार लिखने का कारण बता सकते हैं?
उत्तर

क्योंकि सात 3 को दो 3 और पाँच 3 में बाँटा जा सकता है और कोष्ठक कहाँ लगाया जाए, इससे गुणनफल नहीं बदलता।

37 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3 × 3
= (3 × 3) × (3 × 3 × 3 × 3 × 3)
= 32 × 35
जाँच: 9 × 243 = 2187 = 37 ✓

7 को दो गणन संख्याओं में बाँटने का हर तरीका उतना ही ठीक है: 31 × 36, 33 × 34, 34 × 33। इन सभी का मान 2187 ही है।

ऐसा क्यों होता है: गुणन साहचर्य नियम मानता है — गुणनखंडों का समूह बदलने से गुणनफल कभी नहीं बदलता। अतः a + b समान गुणनखंडों की एक लड़ी को सदैव a और b के समूहों में काटा जा सकता है। na × nb = na+b का पूरा अर्थ यही है: घातांक इसलिए जुड़ते हैं क्योंकि गुणनखंडों की गिनतियाँ जुड़ती हैं।
प्र2.
गुणनफल p⁴ × p⁶ को चरघातांकी रूप में लिखिए।
उत्तर
p4 × p6 = (p × p × p × p) × (p × p × p × p × p × p)
= p को स्वयं से 4 + 6 = 10 बार गुणा करना
= p10
ऐसा क्यों होता है: इस तर्क में कहीं भी इस बात का उपयोग नहीं हुआ कि आधार एक संख्या है। p एक अक्षर संख्या है जो किसी भी मान को दर्शा सकती है और गुणनखंडों की गिनती फिर भी 4 + 6 ही है। इसी प्रकार अध्याय 34 × 33 जैसे विशेष उदाहरणों से व्यापक नियम na × nb = na+b तक पहुँचता है, जहाँ a और b गणन संख्याएँ हैं।
संकेत: यह नियम समान आधार माँगता है। p4 × q6 को छोटा नहीं किया जा सकता; केवल p4 × p6 को किया जा सकता है।
प्र3.
उपर्युक्त अवलोकन के आधार पर निम्नलिखित व्यंजकों की गणना कीजिए। (i) 2⁹ (ii) 5⁷ (iii) 4⁶
उत्तर

प्रत्येक घातांक को उन दो भागों में बाँटिए जो आपको पहले से ज्ञात हैं, फिर एक ही बार गुणा कीजिए।

(i) 29 = 24 × 25 = 16 × 32 = 512
(अथवा 23 × 26 = 8 × 64 = 512)
(ii) 57 = 53 × 54 = 125 × 625 = 78125
(अथवा 52 × 55 = 25 × 3125 = 78125)
(iii) 46 = 43 × 43 = 64 × 64 = 4096
(अथवा 42 × 44 = 16 × 256 = 4096)
ऐसा क्यों होता है: यह नियम नौ गुणनों को एक गुणन में बदल देता है। आपको केवल कुछ छोटी घातें याद रखनी हैं — 24, 25, 53, 54, 43 — और उसी आधार की हर बड़ी घात इनसे एक ही गुणन दूर है। विभाजन आपकी पसंद का है, अतः वही दो भाग चुनिए जो आपको सबसे अच्छे ज्ञात हों।
प्र4.
क्या 2¹⁰ तथा (2⁵)² एक समान हैं? आप इसे एक गुणनफल के रूप में लिखिए।
उत्तर

हाँ।

210 = (2 × 2 × 2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2 × 2)
= (25) × (25)
= (25)2
जाँच: 32 × 32 = 1024 = 210 ✓

उन्हीं दस 2 को दो-दो के पाँच समूहों में भी बाँटा जा सकता है: 210 = (22)5 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1024। दोनों समूहन उचित हैं, अतः (25)2 = (22)5 = 210।

ऐसा क्यों होता है: (na)b का अर्थ है "a गुणनखंडों के एक खंड की b प्रतियाँ लेना"। कुल मिलाकर वे a × b गुणनखंड होते हैं — और a × b में क्रम का कोई महत्त्व नहीं। इसीलिए (na)b = (nb)a = nab। गुणनफल-नियम से अंतर ध्यान रखिए: घातों को गुणा करने पर घातांक जुड़ते हैं, घात की घात लेने पर गुणा होते हैं।
प्र5.
निम्नलिखित व्यंजकों को कम से कम दो विधियों से घात की घात के रूप में लिखिए। (i) 8⁶ (ii) 7¹⁵ (iii) 9¹⁴ (iv) 5⁸
उत्तर

घातांक को दो गुणनखंडों में बाँटिए (आधार वही रहेगा), अथवा आधार को स्वयं एक घात के रूप में लिखिए (आधार बदल जाएगा)।

वही आधार — घातांक बाँटिएनया आधार — आधार बाँटिए
(i) 86(82)3 = (83)28 = 23, अतः 86 = (23)6 = 218 = (29)2
(ii) 715(73)5 = (75)315 = 15 × 1, अतः (715)1 भी
(iii) 914(92)7 = (97)29 = 32, अतः 914 = (32)14 = 328 = (34)7 = (37)4
(iv) 58(52)4 = (54)2 = ((52)2)25 अभाज्य है, अतः आधार नहीं बाँटा जा सकता
ऐसा क्यों होता है: nm को घात की घात के रूप में लिखने के तरीके ठीक उतने ही हैं जितने m के गुणनखंडन के — 15 = 3 × 5 = 5 × 3 से दो तरीके मिलते हैं, जबकि अभाज्य घातांक से लगभग कोई नहीं। यदि आधार स्वयं एक घात हो, जैसे 8 = 23 और 9 = 32, तो और भी विकल्प मिल जाते हैं, क्योंकि (23)6 = 218 नए घातांक 18 के साथ सारा खेल फिर से खोल देता है।
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