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गणित प्रकाश अध्याय 2 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.
एक सुंदर जादुई तालाब के मध्य में एक चमकीला गुलाबी कमल का फूल खिला हुआ है। इस तालाब में प्रत्येक दिन कमल की संख्या दोगुनी हो जाती है। 30 दिन के पश्चात संपूर्ण तालाब कमल के फूल से भर जाता है। वह कौन-सा दिन था जब तालाब आधा भरा हुआ था?
उत्तर

29वें दिन।

30वें दिन कमलों की संख्या = पूरा तालाब
प्रत्येक दिन संख्या दोगुनी होती है, अतः 30वाँ दिन = 2 × (29वाँ दिन)
29वाँ दिन = 30वें दिन का आधा = आधा तालाब
ऐसा क्यों होता है: दोगुना होने का यह सबसे चौंकाने वाला तथ्य है और इसी कारण इसे पूरा एक पृष्ठ दिया गया है। 29 दिन बीत जाने पर तालाब केवल आधा भरा दिखता है — लगता है अभी बहुत समय शेष है। परंतु जो 29 दिन में बना, उसके बराबर अगला एक ही दिन जोड़ देता है। चरघातांकी वृद्धि बहुत समय तक दिखाई नहीं देती और फिर एक ही चरण में पूरी हो जाती है।
क्या आप जानते हैं? प्रश्न को उलट कर देखिए — तालाब चौथाई भरा किस दिन था? 28वें दिन। आठवाँ भाग? 27वें दिन। पीछे जाना आधा करना है, ठीक वैसे ही जैसे आगे जाना दोगुना करना।
प्र2.
यदि 30वें दिन तालाब पूरी तरह कमल के फूलों से भरा हुआ है तो 29वें दिन इसका कितना भाग कमल के फूलों से भरा होगा?
उत्तर

29वें दिन तालाब का आधा भाग भरा होगा।

30वें दिन के कमल = 2 × 29वें दिन के कमल
अतः 29वें दिन के कमल = (1/2) × 30वें दिन के कमल
= पूरे तालाब का आधा
ऐसा क्यों होता है: "पूरा" का अर्थ कितने कमल है, यह जानने की आवश्यकता ही नहीं। दोगुना होने का नियम क्रमागत दिनों के बीच का अनुपात तय कर देता है और केवल यही अनुपात उत्तर दे देता है। यह वही तर्क है जो कहता है कि "10 मोड़ के पश्चात मोटाई पहले से 1024 गुनी होती है, चाहे आप कहीं से भी आरंभ करें"।
प्र3.
कमल के फूलों की संख्या (चरघातांकी रूप में) लिखिए जब तालाब — (i) पूर्ण भरा हो (ii) आधा भरा हो
उत्तर

तालाब में 0वें दिन एक कमल है और प्रत्येक दिन संख्या दोगुनी होती है।

दिन0123…2930
कमल1 = 202 = 214 = 228 = 23…229230
(i) पूर्ण भरा हो = 230 कमल ( = 1,07,37,41,824)
(ii) आधा भरा हो = 229 कमल ( = 53,68,70,912)
ऐसा क्यों होता है: घातांक दिनों की गिनती है। 1,07,37,41,824 के स्थान पर 230 लिखने से बनावट सामने रहती है — तुरंत दिखता है कि (ii) का उत्तर एक घात नीचे है, क्योंकि 230 ÷ 2 = 229।
प्र4.
वहाँ एक अन्य तालाब भी है जिसमें प्रतिदिन कमल के फूलों की संख्या तिगुनी हो जाती है। जब दोनों तालाबों में कोई फूल नहीं है तब दमयंती तालाब में (जिसमें कमल के फूल दुगुने हो जाते हैं) एक कमल रखती है। चार दिन के पश्चात वह वहाँ से सभी कमल के फूल लेकर उन्हें तिगुने होने वाले तालाब में डाल देती है। चार दिन के पश्चात दूसरे तालाब में (जिसमें कमल के फूल तिगुने हो जाते हैं) कितने कमल होंगे?
उत्तर

24 × 34 = 16 × 81 = 1296 कमल।

पहले 4 दिन (दोगुने होने वाले तालाब में):
1 × 2 × 2 × 2 × 2 = 24 = 16 कमल

ये 16 कमल तिगुने होने वाले तालाब में जाते हैं। अगले 4 दिन के पश्चात:
24 × 3 × 3 × 3 × 3 = 24 × 34
= 16 × 81 = 1296
ऐसा क्यों होता है: प्रत्येक तालाब अपने भीतर जो कुछ है, उसे प्रतिदिन अपने गुणक से गुणा भर करता है। चार दिन का दोगुना होना 24 का गुणनखंड देता है, चार दिन का तिगुना होना 34 का, और दोनों गुणनखंड आपस में गुणा हो जाते हैं। आरंभ का एक कमल 1 का गुणनखंड देता है, इसलिए हल में कहीं दिखाई नहीं देता।
प्र5.
यदि दमयंती ने तालाब में फूलों को रखने के क्रम में परिवर्तन कर दिया होता तो क्या होता? वहाँ कितने कमल होते?
उत्तर

बिलकुल उतने ही — 1296 कमल।

पहले तिगुना, फिर दोगुना:
1 × 34 × 24 = 81 × 16 = 1296
पहले दोगुना, फिर तिगुना:
1 × 24 × 34 = 16 × 81 = 1296
ऐसा क्यों होता है: कुल संख्या आठ गुणनखंडों का गुणनफल है — चार 2 और चार 3 — और गुणन में क्रम का कोई महत्त्व नहीं। अतः तालाबों का क्रम अर्थहीन है। यह ध्यान देने योग्य है: योगात्मक प्रक्रियाओं में क्रम बहुत मायने रख सकता है, परंतु बार-बार के गुणन में कभी नहीं।
प्र6.
क्या इस गुणनफल को घातांक mⁿ में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ m और n गणन संख्याएँ हैं?
उत्तर

हाँ — 64।

1 × 34 × 24 = (3 × 3 × 3 × 3) × (2 × 2 × 2 × 2)
एक 3 के साथ एक 2 को मिलाकर पुन: समूहित कीजिए:
= (3 × 2) × (3 × 2) × (3 × 2) × (3 × 2)
= (3 × 2)4 = 64 = 1296 ✓

अतः m = 6 और n = 4। इससे जो व्यापक नियम मिलता है वह है

ma × na = (mn)a, जहाँ a एक गणन संख्या है।
ऐसा क्यों होता है: यह नियम केवल इसलिए काम करता है क्योंकि दोनों घातों के घातांक समान हैं। चार 3 और चार 2 पूरी तरह युग्म बना लेते हैं, कुछ भी शेष नहीं रहता। 35 × 24 में एक 3 बच जाता, जिससे 64 × 3 मिलता — सरल तो है, पर एक अकेली घात नहीं।
स्वयं जाँचिए: इस नियम को 25 × 55 पर लगाइए। यह (2 × 5)5 = 105 = 1,00,000 है — 32 × 3125 करने से कहीं सरल।
प्र7.
उपर्युक्त का अवलोकन कीजिए। इस अवलोकन का प्रयोग 2⁵ × 5⁵ का मान ज्ञात करने की गणना में कीजिए।
उत्तर
25 × 55 = (2 × 5)5
= 105
= 1,00,000 (एक लाख)

लंबी विधि से जाँच: 25 = 32, 55 = 3125 और 32 × 3125 = 1,00,000। ✓

ऐसा क्यों होता है: प्रत्येक 2 को एक 5 के साथ जोड़ने पर पाँच 10 बन जाते हैं और 10 की घातें वे संख्याएँ हैं जिन्हें हम सबसे सरलता से पढ़ते हैं। इसी कारण शून्य पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या से 10 की घात अलग की जा सकती है — अंत के शून्य उसके अभाज्य गुणनखंडन में 2–5 के युग्मों की गिनती हैं।
प्र8.
10⁴/5⁴ को सरल कीजिए और इसे चरघातांकी रूप में लिखिए।
उत्तर
104 ÷ 54 = (10 × 10 × 10 × 10) ÷ (5 × 5 × 5 × 5)
प्रत्येक 10 को एक 5 के साथ जोड़िए:
= (10 ÷ 5) × (10 ÷ 5) × (10 ÷ 5) × (10 ÷ 5)
= (10 ÷ 5)4 = 24 = 16

जाँच: 104 = 10000, 54 = 625 और 10000 ÷ 625 = 16। ✓

सामान्यतः: ma ÷ na = (m ÷ n)a (n ≠ 0)
ऐसा क्यों होता है: यह पिछले नियम का भाग वाला जुड़वाँ है और इसका कारण भी वही है — समान घातांक के कारण ऊपर का प्रत्येक गुणनखंड नीचे के ठीक एक गुणनखंड से जुड़ जाता है। इसे दाएँ से बाएँ पढ़ना भी उतना ही उपयोगी है: (m/n)a को ma/na के रूप में तोड़ा जा सकता है।
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