एस्तु के पास 4 वेशभूषा और 3 टोपियाँ हैं। एस्तु वेशभूषा और टोपियों का संयोजन कितने प्रकार से कर सकता है?
उत्तर
12 प्रकार से।
टोपियों से गिनने पर: प्रत्येक 3 टोपियों के लिए 4 वेशभूषा 4 + 4 + 4 = 4 × 3 = 12
वेशभूषा से गिनने पर: प्रत्येक 4 वेशभूषा के लिए 3 टोपियाँ 3 + 3 + 3 + 3 = 3 × 4 = 12
ऐसा क्यों होता है: दोनों गिनतियाँ इसलिए मिलती हैं क्योंकि वे उन्हीं 12 युग्मों को गिनती हैं — एक बार पंक्तियों के अनुसार, एक बार स्तंभों के अनुसार। यही गुणन का सिद्धांत है: जब चयन चरणों में होता है और चरण एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करते, तब विकल्पों की संख्याओं को गुणा कर देते हैं। गुप्त संकेत वाला पूरा भाग इसी विचार पर टिका है।
प्रत्येक टोपी हर वेशभूषा से जुड़ती है, अतः रेखाओं की संख्या 3 × 4 = 12 है — एक रेखा एक संयोजन के लिए।
प्र2.
रॉक्सी के पास 7 वेशभूषा, 2 टोपी और 3 जोड़ी जूते हैं। रॉक्सी इन्हें कितने प्रकार से पहन कर सुसज्जित हो सकती है? [संकेत — उपर्युक्त चित्र की भाँति एक अन्य चित्र बनाने का प्रयास कीजिए।]
उत्तर
7 × 2 × 3 = 42 प्रकार से।
वेशभूषा चुनिए: 7 प्रकार प्रत्येक के लिए टोपी चुनिए: 2 प्रकार → 7 × 2 = 14 वेशभूषा-टोपी युग्म इन 14 में से प्रत्येक के लिए जूते चुनिए: 3 प्रकार → 14 × 3 = 42
ऐसा क्यों होता है: तीसरा चरण जोड़ते ही एक और गुणा हो जाता है। 14 वेशभूषा-टोपी संयोजनों में से प्रत्येक जूतों के लिए 3 शाखाओं में बँट जाता है, अतः गिनती तिगुनी हो जाती है। उत्तर को चरण-दर-चरण बनाना ही इस नियम को विश्वसनीय बनाता है — आपको सभी 42 संयोजन एक साथ कल्पना करने की आवश्यकता कभी नहीं पड़ती।
संकेत: चरणों का क्रम महत्त्व नहीं रखता: 2 × 3 × 7 और 3 × 7 × 2 भी 42 ही देते हैं। वही क्रम चुनिए जिसमें गणना सबसे सरल हो।
प्र3.
एस्तु और रॉक्सी को एक तिजोरी प्राप्त हुई जिसमें इनके परदादा द्वारा संग्रहीत की गई पुरानी टिकटें और सिक्के थे। यह तिजोरी 5 अंकीय गुप्त संकेत वाले ताले से सुरक्षित थी। किसी को भी गुप्त संकेत के विषय में कुछ भी ज्ञात नहीं था। इन दोनों के पास प्रत्येक गुप्त संकेत को प्रयास करने के अतिरिक्त कोई विकल्प नहीं था जब तक कि वह खुल न जाए। संयोगवश ताला केवल अंतिम गुप्त संकेत का उपयोग करके खुला जबकि वे सभी संभव संयोजनों का प्रयोग कर चुके थे। उन्होंने कितने गुप्त संकेतों की जाँच की?
उत्तर
105 = 1,00,000 गुप्त संकेत (एक लाख)।
पुस्तक की सलाह मानिए और पहले समस्या को छोटा कीजिए।
ताला
तर्क
गुप्त संकेत
1 अंक
0 से 9
10 = 101
2 अंक
10 पहले अंक × 10 दूसरे अंक
100 = 102
3 अंक
पिछले 100 में से प्रत्येक के लिए तीसरे अंक के 10 विकल्प
1000 = 103
5 अंक
10 × 10 × 10 × 10 × 10
1,00,000 = 105
ये ठीक वही संख्याएँ हैं — 00000, 00001, 00002, …, 99998, 99999 — अर्थात 99,999 तक की हर पूर्ण संख्या पाँच अंकों में लिखी हुई।
ऐसा क्यों होता है: प्रत्येक अतिरिक्त खाँचा गिनती को 10 से गुणा कर देता है, क्योंकि वह पहले से मौजूद हर गुप्त संकेत को 10 नए संकेतों में बदल देता है। अतः 105 का घातांक खाँचों की संख्या है, उपलब्ध अंकों की नहीं। इसीलिए गुप्त संकेत में एक अक्षर बढ़ाने से उसे तोड़ना दस गुना कठिन हो जाता है, जबकि उसका मान बढ़ाने से कुछ भी नहीं बदलता।
क्या आप जानते हैं? यदि एक सेकंड में एक संकेत आजमाएँ तो 1,00,000 सेकंड अर्थात एक दिन से कुछ अधिक लगातार प्रयास करना पड़ेगा। एस्तु की छुट्टियों वाली चिंता निराधार नहीं थी।
क्या यह उपयोगी रहा?प्रतिक्रिया के लिए धन्यवाद!त्रुटि बताएँ