गणित प्रकाश अध्याय 2 पाठ्य प्रश्न

अद्यतन2026-09-05

प्र1.

5 अंकों वाले कितने गुप्त संकेत संभव हैं?

उत्तर

10⁵ = 1,00,000।

पाँचों खाँचों में से प्रत्येक के लिए 10 विकल्प (0 से 9)
10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 10⁵
= 1,00,000 गुप्त संकेत

सूची इस प्रकार चलती है — 00000, 00001, 00002, …, 00010, 00011, …, 00100, …, 00999, …, 30456, …, 99998, 99999।

ऐसा क्यों होता है: 0 से 99,999 तक की हर संख्या को ठीक पाँच अंकों में लिखने पर — आगे शून्य लगाकर — गुप्त संकेतों और संख्याओं में एक-एक संगति बन जाती है। ऐसी संख्याएँ 99,999 – 0 + 1 = 1,00,000 हैं, जो गुणन के सिद्धांत से स्वतंत्र रूप से इस गिनती की पुष्टि कर देता है।

प्र2.

एस्तु कहता है, “अगली बार मैं एक ऐसा ताला खरीदूँगा जिसमें A से Z तक अक्षरों वाले 6 खाँचे हों। मेरे विचार से यह अधिक सुरक्षित है।” ऐसे ताले के कितने गुप्त संकेत संभव हैं?

उत्तर

26⁶ = 30,89,15,776 — लगभग 30.9 करोड़ अर्थात 3.09 × 10⁸।

26 × 26 × 26 × 26 × 26 × 26 = 26⁶
26² = 676
26³ = 17,576
26⁶ = (26³)² = 17,576 × 17,576
= 30,89,15,776

एस्तु सही है। 5 अंकों वाले ताले के 1,00,000 संकेतों की तुलना में यह 3000 गुना से भी अधिक है।

ऐसा क्यों होता है: यहाँ दो बातें एक साथ सुधरीं। आधार 10 से बढ़कर 26 हुआ (प्रत्येक खाँचे में अधिक चिह्न) और घातांक 5 से बढ़कर 6 (एक खाँचा अधिक)। इनमें घातांक बढ़ाना प्रायः अधिक प्रभावी होता है: 26⁷ इससे 26 गुना बड़ा होता, जबकि वर्णमाला में एक अक्षर बढ़ाकर 27⁶ करने पर गिनती केवल लगभग 1.26 गुनी होती है।

संकेत: छह गुणनों की तुलना में (26³)² कहीं कम श्रम है — घात की घात वाला नियम अपना मूल्य चुकाता हुआ।

प्र3.

विचार कीजिए कि अलग-अलग संदर्भों में कितने संयोजन संभव हैं। इस संदर्भ में कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं — (i) भारत में स्थानों के पिनकोड — मध्यप्रदेश में विदिशा का पिनकोड 464001 है। मिजोरम में जेमाबाक का पिनकोड 796017 है। (ii) मोबाइल संख्या (iii) वाहन पंजीकरण संख्या। यह समझने का प्रयास कीजिए कि संख्याएँ या कोड कैसे आवंटित किए जाते हैं।

उत्तर

पहले कुल गिनती निकालिए, फिर देखिए कि वास्तविक व्यवस्था उसे कैसे खर्च करती है।

कोड	बनावट	संभावित कोड
पिनकोड	6 अंक, 0–9	10⁶ = 10,00,000
मोबाइल संख्या	10 अंक, पर पहला अंक 6, 7, 8 या 9 ही	4 × 10⁹ = 4,00,00,00,000
वाहन संख्या	2 अक्षर + 2 अंक + 2 अक्षर + 4 अंक	26² × 10² × 26² × 10⁴ ≈ 4.57 × 10¹¹

वास्तविक व्यवस्थाएँ यादृच्छिक नहीं हैं। पिनकोड का पहला अंक डाक क्षेत्र बताता है (4 = मध्य भारत, इसलिए विदिशा; 7 = पूर्वी भारत, इसलिए जेमाबाक), पहले दो अंक उप-क्षेत्र या राज्य वृत्त तय करते हैं, तीसरा छँटाई जिला और अंतिम तीन उस डाकघर का नाम। वाहन संख्या राज्य संकेत (MP, MZ, TN …) से आरंभ होती है और उसके बाद आर.टी.ओ. जिले की संख्या आती है। मोबाइल संख्या ऑपरेटर और वृत्त के खंड से आरंभ होती है।

ऐसा क्यों होता है: अर्थ रखने वाला कोड भेजने और जाँचने में सरल होता है, परंतु अर्थ की कीमत क्षमता है — पहला अंक भूगोल से तय हो जाने पर उस क्षेत्र के लिए केवल 10⁵ पिनकोड शेष रहते हैं। हर वास्तविक कोड-व्यवस्था "अधिकतम गिनती" और "पठनीय बनावट" के बीच कहीं ठहरती है।

प्र4.

2 की घात में 2¹⁰⁰ ÷ 2²⁵ क्या होगा?

उत्तर

2⁷⁵।

2¹⁰⁰ ÷ 2²⁵ = 2^{100 – 25} = 2⁷⁵

घटाना ही सही संक्रिया क्यों है: विस्तार से लिखने पर ऊपर 100 दो हैं और नीचे 25 दो। नीचे का प्रत्येक दो ऊपर के एक दो को काट देता है और 25 कटौतियों के पश्चात 100 – 25 = 75 दो शेष रहते हैं।

सामान्यतः: n^a ÷ n^b = n^a–b, जहाँ n ≠ 0 और a > b

ऐसा क्यों होता है: भाग गुणा को उलटता है, अतः जहाँ गुणनफल-नियम घातांकों को जोड़ता था, वहाँ भागफल-नियम उन्हें घटाएगा। अध्याय इस नियम तक 2⁴ इकाई लंबी रेखा को आधा करते हुए पहुँचता है: 2⁴ ÷ 2³ = 2¹। n ≠ 0 की शर्त आवश्यक है, क्योंकि शून्य को काटा नहीं जा सकता।

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